Exercício 3.23 Dada a função posição \mathrm{s}(\mathrm{t}) de um móvel em relação ao tempo, define-se a sua velocidade escalar instantânea e a sua aceleração escalar instantânea no instante t como sendo v(\mathrm{t})=\mathrm{s}^{\'}(\mathrm{t}) e \mathrm{a}(\mathrm{t})=v^{\'}(\mathrm{t}), respectivamente. Obtenha estas funções nos casos abaixo:
\mathrm{s}(\mathrm{t})=5 \cos \left(3 \mathrm{t}+\frac{\pi}{7}\right).

Passo 1

O enunciado dá a posição do móvel
s(t)=5\cos\Bigl(3t+\frac{\pi}{7}\Bigr)
e pede a velocidade escalar instantânea v(t)=s'(t) e a aceleração escalar instantânea a(t)=v'(t). Para isso vamos usar:
  1. A derivada de \cos(u) é -\sin(u).
  2. A regra da cadeia, ou seja, se u=3t+\tfrac{\pi}{7}, então \frac{d}{dt}\cos(u)= -\sin(u)\,\frac{du}{dt}.

Passo 2

Aplicando a regra da cadeia em
s(t)=5\cos\Bigl(3t+\tfrac{\pi}{7}\Bigr),
temos u=3t+\tfrac{\pi}{7} e \frac{du}{dt}=3. Logo,
v(t)=s'(t) =5\;\frac{d}{dt}\!\Bigl[\cos(u)\Bigr] =5\bigl[-\sin(u)\bigr]\cdot3 =-15\sin\Bigl(3t+\tfrac{\pi}{7}\Bigr).

Passo 3

Agora derivamos v(t)=-15\sin\bigl(3t+\tfrac{\pi}{7}\bigr). De novo, usando derivada de \sin(u) e regra da cadeia u'=3:
a(t)=v'(t) =-15\;\frac{d}{dt}\!\Bigl[\sin(u)\Bigr] =-15\bigl[\cos(u)\bigr]\cdot3 =-45\cos\Bigl(3t+\tfrac{\pi}{7}\Bigr).

Resposta

v(t)=-15\sin\bigl(3t+\tfrac{\pi}{7}\bigr) a(t)=-45\cos\bigl(3t+\tfrac{\pi}{7}\bigr)

Exercícios relacionados