Exercício 3.23 Dada a função posição \mathrm{s}(\mathrm{t}) de um móvel em relação ao tempo, define-se a sua velocidade escalar instantânea e a sua aceleração escalar instantânea no instante t como sendo v(\mathrm{t})=\mathrm{s}^{\'}(\mathrm{t}) e \mathrm{a}(\mathrm{t})=v^{\'}(\mathrm{t}), respectivamente. Obtenha estas funções nos casos abaixo:
\mathrm{s}(\mathrm{t})=A \cos \left(\omega \mathrm{t}+\varphi_{0}\right), sendo A>0, \omega e \varphi_{0} constantes.

Passo 1

O enunciado nos dá a posição
s(t)=A\cos\bigl(\omega t+\varphi_{0}\bigr)
de um móvel e define
v(t)=s'(t),\quad a(t)=v'(t).
Para encontrar v(t) e a(t) vamos usar a derivada de \cos(u), que é -\sin(u)\cdot u', e a regra da cadeia.

Passo 2

Calculando v(t)=s'(t), tome u=\omega t+\varphi_{0}. Então u'=\omega e
v(t)=\frac{d}{dt}\bigl[A\cos(u)\bigr] =A\bigl(-\sin(u)\bigr)\cdot u' =-A\,\omega\,\sin\bigl(\omega t+\varphi_{0}\bigr).

Passo 3

Agora a(t)=v'(t). Como v(t)=-A\omega\sin(u) e de novo u'=\omega, temos
a(t) =\frac{d}{dt}\bigl[-A\omega\sin(u)\bigr] =-A\omega\bigl(\cos(u)\bigr)\cdot u' =-A\,\omega^{2}\,\cos\bigl(\omega t+\varphi_{0}\bigr).

Resposta

v(t)=-A\,\omega\,\sin\bigl(\omega t+\varphi_{0}\bigr) a(t)=-A\,\omega^{2}\,\cos\bigl(\omega t+\varphi_{0}\bigr)

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