Esboce o gráfico e determine o domínio, a imagem e o período das seguintes funçöes:
f(x)=1+\operatorname{sen} x

Passo 1

O enunciado pede para esboçar o gráfico de
f(x)=1+\sin x
e determinar o domínio, a imagem e o período. O conteúdo envolve transformações de funções trigonométricas, neste caso uma “seno” com deslocamento vertical.

Passo 2

Para o domínio, lembramos que \sin x está bem definido para todo x\in\mathbb{R}. Como somar uma constante não restringe o domínio, temos
Domínio: \mathbb{R}.

Passo 3

O período de \sin x é 2\pi. Adicionar 1 não altera o espaçamento horizontal da onda, logo o período de f(x) continua sendo
Período: 2\pi.

Passo 4

A função \sin x varia entre -1 e 1. Ao somar 1, o mínimo torna-se -1+1=0 e o máximo 1+1=2. Assim, a imagem de f é o intervalo
Imagem: [0,2].

Passo 5

Para esboçar o gráfico, observe que é uma senoide de amplitude 1 “centralizada” na reta y=1. Alguns pontos-chave num período 2\pi:
x =0: f(0)=1+\sin0=1
x= \tfrac{\pi}{2}: f(\tfrac{\pi}{2})=1+1=2 (máximo)
x= \pi: f(\pi)=1+0=1
x= \tfrac{3\pi}{2}: f(\tfrac{3\pi}{2})=1-1=0 (mínimo)
x= 2\pi: f(2\pi)=1+0=1
Depois de 2\pi repete o mesmo padrão. O gráfico oscila suavemente entre y=0 e y=2 com linha média em y=1.

Resposta

Domínio: \mathbb{R}
Imagem: [0,2]
Período: 2\pi

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