Exercício 23.* Mostre a identidade
\arctan 1+\arctan 2+\arctan 3=\pi
(Sugestão: calcule \tan (\arctan 2+\arctan 3) )

Passo 1

O enunciado pede para mostrar a identidade
\arctan 1 + \arctan 2 + \arctan 3 = \pi
Isso envolve soma de arctangentes; vamos usar a fórmula de adição de tangente:
\tan(u+v)=\frac{\tan u+\tan v}{1-\tan u\,\tan v}.

Passo 2

Defina
u = \arctan 2, \quad v = \arctan 3.
Então
\tan(u+v) = \frac{2 + 3}{1 - 2\cdot 3} = \frac{5}{1-6} = \frac{5}{-5} = -1.

Passo 3

Chamando \alpha = u+v = \arctan 2 + \arctan 3, temos \tan\alpha = -1. Como u>0 e v>0, segue 0<\alpha<\pi. No intervalo (0,\pi) a única solução de \tan\alpha=-1 é
\alpha = \tfrac{3\pi}{4}.

Passo 4

Sabemos também que
\arctan 1 = \tfrac{\pi}{4}.

Passo 5

Somando tudo,
\arctan 1 + \arctan 2 + \arctan 3 = \tfrac{\pi}{4} + \tfrac{3\pi}{4} = \pi.

Resposta

\pi

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