Exercício 23. Seja
.
(a)
é contínua em 0?
(b) Calcule
.
(c) Existe
? Por quê?
(a)
(b) Calcule
(c) Existe
Passo 1
O enunciado pede para estudar a função
. Vamos verificar (a) a continuidade em
, (b) a derivada em pontos
usando a regra da potência, e (c) a existência de
pela definição de derivada em
.
Passo 2
Para mostrar que
é contínua em
, usamos a definição:
é contínua em
se
Como
e
segue que
. Logo,
é contínua em
.
Passo 3
Para
, aplicamos a regra da potência: se
então
. Aqui
, portanto
Passo 4
Para
, usamos a definição
Como
quando
(tanto por
quanto por
), esse limite não é um número finito. Logo,
não existe.
Resposta
(a) Sim,
é contínua em
.
(b) Para ,
.
(c) Não existe , pois o limite do quociente de diferenças diverge para
.
(b) Para
(c) Não existe