Exercício 25. Considere a função f(x)=\left\{\begin{array}{cl}x^{2} \operatorname{sen}\left(\frac{1}{x}\right) & , \text { se } x \neq 0 \\\\ 0 & , \text { se } x=0\end{array}\right.. (a) Encontre f^{\prime}(x), para todo x \in \mathbb{R}. Pergunta-se: f^{\prime} é contínua em \mathbb{R} ? Qual o domínio de f^{\prime} ?
(b) Refaça o item (a) para a função abaixo e responda o que mudou.
f(x)=\left\{\begin{array}{cc} x^{2} \operatorname{sen}\left(\frac{1}{x}\right) & , \text { se } x \neq 0 \\\\ 2 & , \text { se } x=0 \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado trata de derivar duas funções definidas por partes envolvendo x^{2}\sin(1/x) e valor em x=0. O conteúdo é aplicação do produto e da regra da cadeia para x\neq0, e definição de derivada pelo limite para x=0. Precisamos achar f'(x) em cada região, investigar a continuidade de f' e determinar seu domínio em cada caso.

Passo 2

Para x\neq0, use produto e cadeia em
f(x)=x^{2}\sin\bigl(1/x\bigr).
Temos
f'(x)=2x\sin\bigl(1/x\bigr)+x^{2}\cos\bigl(1/x\bigr)\cdot\frac{d}{dx}\bigl(1/x\bigr) =2x\sin\bigl(1/x\bigr)-x^{2}\cos\bigl(1/x\bigr)\,\frac{1}{x^{2}}.
Logo
\boxed{f'(x)=2x\sin\bigl(1/x\bigr)-\cos\bigl(1/x\bigr),\quad x\neq0.}

Passo 3

No item (a), em x=0 a definição da derivada é
f'(0)=\lim_{h\to0}\frac{f(h)-f(0)}{h} =\lim_{h\to0}\frac{h^{2}\sin(1/h)-0}{h} =\lim_{h\to0}h\sin(1/h)=0.
Portanto em (a)
\boxed{f'(0)=0.}

Passo 4

Ainda em (a), para ver se f' é contínua em 0 compute
\lim_{x\to0}f'(x) =\lim_{x\to0}\bigl(2x\sin(1/x)-\cos(1/x)\bigr).
O termo 2x\sin(1/x)\to0, mas \cos(1/x) oscila entre -1 e 1, logo o limite não existe. Concluímos que em (a) f' não é contínua em 0, mas seu domínio de definição é todo \mathbb{R}.

Passo 5

No item (b), para x\neq0 a derivada continua igual ao item anterior:
f'(x)=2x\sin\bigl(1/x\bigr)-\cos\bigl(1/x\bigr),\quad x\neq0.

Passo 6

Em (b), tentamos em x=0:
\frac{f(h)-f(0)}{h} =\frac{h^{2}\sin(1/h)-2}{h} =h\sin(1/h)-\frac{2}{h}.
Aqui -2/h diverge quando h\to0, logo o limite não existe e f'(0) não existe.

Passo 7

Em (b) o domínio de f' é \mathbb{R}\setminus\{0\} e, nesse domínio, f' é contínua. A grande mudança é que em (b) a derivada em 0 deixa de existir.

Resposta

(a) Para x\neq0,
f'(x)=2x\sin\bigl(1/x\bigr)-\cos\bigl(1/x\bigr),
e f'(0)=0. O domínio de f' é \mathbb{R}, mas f' não é contínua em 0.
(b) Para x\neq0,
f'(x)=2x\sin\bigl(1/x\bigr)-\cos\bigl(1/x\bigr),
e f'(0) não existe. O domínio de f' é \mathbb{R}\setminus\{0\}, onde f' é contínua.

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