Exercício 25. Considere a função f(x)=\left\{\begin{array}{cl}x^{2} \operatorname{sen}\left(\frac{1}{x}\right) & , \text { se } x \neq 0 \\\\ 0 & , \text { se } x=0\end{array}\right.. (a) Encontre f^{\prime}(x), para todo x \in \mathbb{R}. Pergunta-se: f^{\prime} é contínua em \mathbb{R} ? Qual o domínio de f^{\prime} ?
(b) Refaça o item (a) para a função abaixo e responda o que mudou.
f(x)=\left\{\begin{array}{cc} x^{2} \operatorname{sen}\left(\frac{1}{x}\right) & , \text { se } x \neq 0 \\\\ 2 & , \text { se } x=0 \end{array}\right.
Passo 1
O enunciado trata de derivar duas funções definidas por partes envolvendo x^{2}\sin(1/x) e valor em x=0. O conteúdo é aplicação do produto e da regra da cadeia para x\neq0, e definição de derivada pelo limite para x=0. Precisamos achar f'(x) em cada região, investigar a continuidade de f' e determinar seu domínio em cada caso.
O termo 2x\sin(1/x)\to0, mas \cos(1/x) oscila entre -1 e 1, logo o limite não existe. Concluímos que em (a) f'não é contínua em 0, mas seu domínio de definição é todo \mathbb{R}.
Passo 5
No item (b), para x\neq0 a derivada continua igual ao item anterior: