Exercício 4.8.23. Seja F: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} a aplicação linear que na base canônica \mathcal{B}_{3} de \mathbb{R}^{3} possui matriz representativa
M_{F}^{\mathcal{B}_{3}}=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\\\ 0 & 1 & 1 \\\\ 1 & 0 & 0 \end{array}\right)
a) Determinar \operatorname{Ker} F e \operatorname{Im} F, especificando as dimensões e exibindo respectivas bases.
b) Calcular a matriz representativa M_{F}^{\mathcal{Y}} de F com respeito à base \mathcal{Y}=\{(1,1,1),(1,0,0),(0,0,1)\}.

Passo 1

O enunciado dá a aplicação linear F\colon \mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 cuja matriz na base canônica \mathcal{B}_3 é
M_{F}^{\mathcal{B}_{3}} =\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\\\ 0 & 1 & 1\\\\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}.
Pede-se em (a) o núcleo e a imagem de F, com dimensões e bases; em (b) a matriz de F na base \mathcal{Y}=\{(1,1,1),(1,0,0),(0,0,1)\}.

Passo 2

Para encontrar \ker F\) resolvemos \[M_F\,(x_1,x_2,x_3)^T = (0,0,0)^T,
isto é o sistema
\begin{cases} x_1 + x_2 + x_3 = 0,\\\ x_2 + x_3 = 0,\\\ x_1 = 0. \end{cases}
Da terceira equação vem x_1=0\]. Da segunda, \(x_2 = -x_3. A primeira fica 0 +(-x_3)+x_3=0, que é automática. Logo o parâmetro livre é x_3 = t e
(x_1,x_2,x_3) = t\,(0,-1,1).
Portanto
\ker F = \Span\{(0,-1,1)\}, \quad \dim\ker F = 1.

Passo 3

A \Im F é o espaço gerado pelas colunas de M_F, ou seja
c_1=(1,0,1),\quad c_2=(1,1,0),\quad c_3=(1,1,0).
Como c_3=c_2, basta
\Im F = \Span\{(1,0,1),(1,1,0)\}, \quad \dim\Im F = 2.

Passo 4

Para achar M_F^{\mathcal{Y}} calculamos F(y_i) no referencial canônico e depois escrevemos cada F(y_i) como combinação linear de y_1,y_2,y_3. As coordenadas obtidas formam as colunas de M_F^{\mathcal{Y}}.

Passo 5

Calculemos
  1. y_1=(1,1,1):
F(y_1)=M_F\,(1,1,1)^T = (3,2,1).
Procuramos a_1,a_2,a_3 tais que
a_1(1,1,1)+a_2(1,0,0)+a_3(0,0,1) = (3,2,1).
Das coordenadas vem a_1=2, a_2=1, a_3=-1.
2. y_2=(1,0,0):
F(y_2)=M_F\,(1,0,0)^T = (1,0,1),
e resolvendo análogo dá a_1=0, a_2=1, a_3=1.
3. y_3=(0,0,1):
F(y_3)=M_F\,(0,0,1)^T = (1,1,0),
e daí a_1=1, a_2=0, a_3=-1.

Passo 6

Reunindo as coordenadas (a_1,a_2,a_3) em colunas, obtemos
M_{F}^{\mathcal{Y}} =\begin{pmatrix} 2 & 0 & 1\\\\ 1 & 1 & 0\\\\ -1 & 1 & -1 \end{pmatrix}.

Resposta

(a) \ker F = \Span\{(0,-1,1)\}, \dim\ker F=1. \Im F = \Span\{(1,0,1),(1,1,0)\}, \dim\Im F=2.
(b)
M_{F}^{\mathcal{Y}} =\begin{pmatrix} 2 & 0 & 1\\\\ 1 & 1 & 0\\\\ -1 & 1 & -1 \end{pmatrix}.

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