Exercício 231. Calcule a derivada
y=e{x{x}}

Passo 1

O enunciado dá a função y=e^{x^{x}} e pede para calcular a derivada y'. Informações importantes extraídas do enunciado:
  • A variável independente é x.
  • A função é uma exponencial cuja exposição é a função x^{x}.
  • Observação sobre domínio: para usar a técnica que vem a seguir (regravar x^{x} com \ln) é preciso assumir x>0. A expressão final que obteremos vale para x>0. (Se for necessário tratar pontos especiais como x=0 ou x<0, isso precisa de análise adicional.)

Passo 2

Plano de resolução (sem calcular ainda): vamos aplicar a regra da cadeia porque temos uma composição do tipo y=e^{u(x)} com u(x)=x^{x}. A regra da cadeia para exponencial diz:
\frac{d}{dx}\bigl(e^{u(x)}\bigr)=e^{u(x)}\cdot u'(x),
onde u'(x) é a derivada do expoente u(x). Portanto precisamos calcular u'(x) para u(x)=x^{x}.
Explicando a regra da cadeia de forma clara: se uma função y depende de u e u depende de x, então a taxa de variação de y em relação a x é a taxa de variação de y em relação a u multiplicada pela taxa de variação de u em relação a x. Aqui y=e^{u} tem derivada em relação a u igual a e^{u}.

Passo 3

Calcular u'(x) para u(x)=x^{x}. Este é um caso clássico: tanto base quanto expoente dependem de x. A técnica conveniente é reescrever usando a exponencial natural:
x^{x}=e^{x\ln x},
válido para x>0. Aqui usamos que, para base positiva a, a^{b}=e^{b\ln a}. Agora definimos v(x)=x\ln x, então u(x)=e^{v(x)}. Aplicando a regra da cadeia novamente,
u'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(e^{v(x)}\bigr)=e^{v(x)}\cdot v'(x).
Mas e^{v(x)}=x^{x}, então
u'(x)=x^{x}\cdot v'(x).
Agora calculamos v'(x) com a regra do produto porque v(x)=x\cdot\ln x é produto de x por \ln x. A regra do produto diz:
\frac{d}{dx}\bigl(f(x)g(x)\bigr)=f'(x)g(x)+f(x)g'(x).
Aqui f(x)=x com f'(x)=1 e g(x)=\ln x com g'(x)=\dfrac{1}{x}. Então
v'(x)=1\cdot\ln x + x\cdot\frac{1}{x}=\ln x + 1.
Portanto, juntando,
u'(x)=x^{x}\bigl(\ln x + 1\bigr).

Passo 4

Voltar à derivada de y. Usando a regra da cadeia do Passo 2 com u'(x) do Passo 3:
y'=\frac{d}{dx}\bigl(e^{x^{x}}\bigr)=e^{x^{x}}\cdot\frac{d}{dx}\bigl(x^{x}\bigr)=e^{x^{x}}\cdot x^{x}\bigl(\ln x + 1\bigr).
Comentário prático e exemplo: para x=1 a fórmula dá y'=e^{1^{1}}\cdot 1^{1}(\ln 1+1)=e\cdot 1\cdot(0+1)=e. Isso é um cheque rápido que faz sentido.

Resposta

y'=e^{x^{x}}\;x^{x}\;(\ln x + 1)

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