Exercício 231. Calcule a derivada
y=e{x{x}}
y=e{x{x}}
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para calcular a derivada
. Informações importantes extraídas do enunciado:
- A variável independente é
. - A função é uma exponencial cuja exposição é a função
. - Observação sobre domínio: para usar a técnica que vem a seguir (regravar
com ) é preciso assumir . A expressão final que obteremos vale para . (Se for necessário tratar pontos especiais como ou , isso precisa de análise adicional.)
Passo 2
Plano de resolução (sem calcular ainda): vamos aplicar a regra da cadeia porque temos uma composição do tipo
com
. A regra da cadeia para exponencial diz:
onde
é a derivada do expoente
. Portanto precisamos calcular
para
.
Explicando a regra da cadeia de forma clara: se uma função
depende de
e
depende de
, então a taxa de variação de
em relação a
é a taxa de variação de
em relação a
multiplicada pela taxa de variação de
em relação a
. Aqui
tem derivada em relação a
igual a
.
Passo 3
Calcular
para
. Este é um caso clássico: tanto base quanto expoente dependem de
. A técnica conveniente é reescrever usando a exponencial natural:
válido para
. Aqui usamos que, para base positiva
,
. Agora definimos
, então
. Aplicando a regra da cadeia novamente,
Mas
, então
Agora calculamos
com a regra do produto porque
é produto de
por
. A regra do produto diz:
Aqui
com
e
com
. Então
Portanto, juntando,
Passo 4
Voltar à derivada de
. Usando a regra da cadeia do Passo 2 com
do Passo 3:
Comentário prático e exemplo: para
a fórmula dá
. Isso é um cheque rápido que faz sentido.