Exercício 231. Calcule a derivada
y=\frac{1}{2} \tan ^{2} x+\ln (\cos x)
y=\frac{1}{2} \tan ^{2} x+\ln (\cos x)
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede: calcular a derivada de
em relação a
.
Informações relevantes dadas: a função é soma de dois termos — um termo trigonométrico elevado ao quadrado multiplicado por e um logaritmo natural de uma função trigonométrica.
Informações relevantes dadas: a função é soma de dois termos — um termo trigonométrico elevado ao quadrado multiplicado por
Passo 2
Lembrete útil (regra do poder + regra da cadeia): se
é uma função de
e temos
, então
Aqui
é um número (por exemplo
) e
é a derivada de
. Exemplo concreto: para
,
pois a derivada de
é
.
Passo 3
Regra para a derivada da tangente:
. Aplicando a regra do quociente (ou sabendo a fórmula padrão), obtém-se
onde
. Se quiser ver rápido: derivando
dá
.
Passo 4
Regra para derivada do logaritmo natural: se
então
Exemplo:
.
Passo 5
Aplicando a regra do passo 2 ao primeiro termo
:
Passo 6
Aplicando a regra do passo 4 ao segundo termo
:
Passo 7
Somando as derivadas dos dois termos (derivada da soma é soma das derivadas):
Passo 8
Usamos a identidade trigonométrica fundamental
logo
. Substituindo em
:
Passo 9
Comentário final curto: a simplificação fica elegante — os dois termos combinam para dar uma potência da tangente. Se quiser conferir com um exemplo numérico rápido, escolher
(onde
) dá
, consistente com as fórmulas usadas.