Exercício 231. Calcule a derivada
y=\frac{1}{2} \tan ^{2} x+\ln (\cos x)

Passo 1

O enunciado dá a função
y=\tfrac{1}{2}\tan^{2}x+\ln(\cos x)
e pede: calcular a derivada de y em relação a x.
Informações relevantes dadas: a função é soma de dois termos — um termo trigonométrico elevado ao quadrado multiplicado por \tfrac{1}{2} e um logaritmo natural de uma função trigonométrica.

Passo 2

Lembrete útil (regra do poder + regra da cadeia): se u=u(x) é uma função de x e temos f(x)=\big(u(x)\big)^{n}, então
\frac{d}{dx}\big(u(x)\big)^{n}=n\big(u(x)\big)^{n-1}\cdot u'(x).
Aqui n é um número (por exemplo 2) e u'(x) é a derivada de u. Exemplo concreto: para f(x)=(\sin x)^{2},
\frac{d}{dx}(\sin x)^{2}=2\sin x\cdot\cos x,
pois a derivada de \sin x é \cos x.

Passo 3

Regra para a derivada da tangente: \tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x}. Aplicando a regra do quociente (ou sabendo a fórmula padrão), obtém-se
\frac{d}{dx}\tan x=\operatorname{sec}^{2}x,
onde \operatorname{sec} x=\dfrac{1}{\cos x}. Se quiser ver rápido: derivando \sin x/\cos x (\cos^{2}x+\sin^{2}x)/\cos^{2}x=1/\cos^{2}x=\operatorname{sec}^{2}x.

Passo 4

Regra para derivada do logaritmo natural: se u=u(x) então
\frac{d}{dx}\ln(u(x))=\frac{u'(x)}{u(x)}.
Exemplo: \dfrac{d}{dx}\ln(\cos x)=\dfrac{(\cos x)'}{\cos x}.

Passo 5

Aplicando a regra do passo 2 ao primeiro termo \tfrac{1}{2}\tan^{2}x:
\frac{d}{dx}\left(\tfrac{1}{2}\tan^{2}x\right)=\tfrac{1}{2}\cdot 2\tan x\cdot\frac{d}{dx}\tan x =\tan x\cdot\operatorname{sec}^{2}x.

Passo 6

Aplicando a regra do passo 4 ao segundo termo \ln(\cos x):
\frac{d}{dx}\ln(\cos x)=\frac{(\cos x)'}{\cos x}=\frac{-\sin x}{\cos x}=-\tan x.

Passo 7

Somando as derivadas dos dois termos (derivada da soma é soma das derivadas):
y'=\tan x\operatorname{sec}^{2}x + (-\tan x)=\tan x\big(\operatorname{sec}^{2}x-1\big).

Passo 8

Usamos a identidade trigonométrica fundamental
1+\tan^{2}x=\operatorname{sec}^{2}x,
logo \operatorname{sec}^{2}x-1=\tan^{2}x. Substituindo em y':
y'=\tan x\cdot\tan^{2}x=\tan^{3}x.

Passo 9

Comentário final curto: a simplificação fica elegante — os dois termos combinam para dar uma potência da tangente. Se quiser conferir com um exemplo numérico rápido, escolher x=\tfrac{\pi}{4} (onde \tan x=1) dá y'=1^{3}=1, consistente com as fórmulas usadas.

Resposta

\,y'=\tan^{3}x

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