Exercício 220 (Regra da cadeia e retas tangentes.).
Encontre
valor
.
Encontre
Passo 1
O enunciado pede explicitamente: encontrar
.
Informações dadas no enunciado: nenhuma — não foram forneidas as funções
e
, nem equações de retas tangentes, nem valores numéricos.
Conclusão deste passo: para calcular
é necessário conhecer alguns dados sobre
e
; se esses dados não estiverem presentes (por exemplo, se a questão dependia de uma figura ou de equações de retas tangentes que não foram enviadas), não há como obter um valor numérico. Nos próximos passos eu explico passo a passo o que é preciso e como calcular se esses dados forem fornecidos.
Passo 2
Fórmula-chave (Regra da cadeia). Quando se tem a composição
, a derivada em um ponto
é dada pela regra da cadeia:
Isto significa literalmente: para derivar
multiplica-se a derivada de
avaliada no ponto
pela derivada de
avaliada em
.
Explicando as variáveis:
-
é o valor que toma em . -
é a taxa de variação (slope) de em . -
é a taxa de variação de no ponto cuja abscissa é (ou seja, avalia-se a derivada de no número ).
Aplicando essa fórmula especificamente em
:
Portanto, para obter o valor numérico de
são necessários dois números:
(para saber onde avaliar
) e
(para o fator multiplicativo), além de conhecer
no ponto
.
Passo 3
Como obter
e
se a questão fornecer retas tangentes:
- Se a reta tangente a
em for dada por uma equação do tipo (ou por forma ponto-declive ), então o coeficiente angular dessa reta é exatamente . Ou seja, . - O ponto de tangência tem coordenadas
; se a reta está em forma ponto-declive , o número aparece explicitamente ali. Se a reta estiver em forma , então .
Exemplo de como extrair
e
a partir de dois pontos da reta tangente: se soubermos que a reta tangente passa pelos pontos
e
, então o coeficiente angular é
e esse
é
(desde que esses pontos pertençam à reta tangente em
; normalmente a reta tangente é dada justamente no ponto
ou pode-se usar a forma explícita para recuperar
).
Passo 4
Como obter
se a questão fornecer retas tangentes ou gráfico de
:
- Primeiro é preciso o número
. Sem não se sabe em qual abscissa de procurar a derivada. - Se a reta tangente a
no ponto for dada por (ou ), então . - Se a reta tangente a
no ponto não for fornecida explicitamente, talvez o gráfico de permita estimar a inclinação ou haja pontos que permitam calcular a inclinação pela fórmula do passo anterior.
Resumo: para obter
é preciso saber
e então extrair o coeficiente angular
da reta tangente de
em
.
Passo 5
Juntando tudo: cálculo efetivo quando os dados estão disponíveis.
- Passo A: determinar
. - Passo B: determinar
(coeficiente angular da reta tangente a em ). - Passo C: com
, determinar (coeficiente angular da reta tangente a em ). - Passo D: aplicar
Exemplo numérico ilustrativo (apenas para ver como os passos se aplicam): suponha que a reta tangente de
em
seja
. Então
e
. Suponha que a reta tangente de
em
seja
. Então
. Logo
Isto mostra explicitamente como se usa a regra da cadeia e as retas tangentes para chegar ao valor final quando os dados são conhecidos.
Passo 6
Situação do enunciado que foi enviado: como não foram fornecidas nem as equações das retas tangentes nem os valores
,
e
, não é possível calcular um valor numérico para
. O que posso fazer é dar a fórmula final (já apresentada) e explicar como obter os números a partir das retas tangentes ou do gráfico, o que fiz nos passos anteriores.
Força — se houver uma figura ou as equações das retas tangentes que você esqueceu de enviar, manda que eu aplico estes passos e calculo o valor numérico contigo.
Resposta
Não é possível determinar numericamente
porque faltam os valores
,
e
.