Exercício 220 (Regra da cadeia e retas tangentes.).
Encontre o valor (g \circ f)^{\prime}(1).

Passo 1

O enunciado pede explicitamente: encontrar (g\circ f)^{\prime}(1).
Informações dadas no enunciado: nenhuma — não foram forneidas as funções f e g, nem equações de retas tangentes, nem valores numéricos.
Conclusão deste passo: para calcular (g\circ f)^{\prime}(1) é necessário conhecer alguns dados sobre f e g; se esses dados não estiverem presentes (por exemplo, se a questão dependia de uma figura ou de equações de retas tangentes que não foram enviadas), não há como obter um valor numérico. Nos próximos passos eu explico passo a passo o que é preciso e como calcular se esses dados forem fornecidos.

Passo 2

Fórmula-chave (Regra da cadeia). Quando se tem a composição g\circ f, a derivada em um ponto x é dada pela regra da cadeia:
(g\circ f)^{\prime}(x)=g^{\prime}\bigl(f(x)\bigr)\cdot f^{\prime}(x).
Isto significa literalmente: para derivar g(f(x)) multiplica-se a derivada de g avaliada no ponto f(x) pela derivada de f avaliada em x.
Explicando as variáveis:
  • f(x) é o valor que f toma em x.
  • f^{\prime}(x) é a taxa de variação (slope) de f em x.
  • g^{\prime}\bigl(f(x)\bigr) é a taxa de variação de g no ponto cuja abscissa é f(x) (ou seja, avalia-se a derivada de g no número f(x)).
Aplicando essa fórmula especificamente em x=1:
(g\circ f)^{\prime}(1)=g^{\prime}\bigl(f(1)\bigr)\cdot f^{\prime}(1).
Portanto, para obter o valor numérico de (g\circ f)^{\prime}(1) são necessários dois números: f(1) (para saber onde avaliar g') e f'(1) (para o fator multiplicativo), além de conhecer g' no ponto f(1).

Passo 3

Como obter f(1) e f'(1) se a questão fornecer retas tangentes:
  • Se a reta tangente a y=f(x) em x=1 for dada por uma equação do tipo \;y=m_f x + b_f\; (ou por forma ponto-declive \;y=f(1)+m_f(x-1)\;), então o coeficiente angular m_f dessa reta é exatamente f'(1). Ou seja, f'(1)=m_f.
  • O ponto de tangência tem coordenadas \bigl(1,f(1)\bigr); se a reta está em forma ponto-declive \;y=f(1)+m_f(x-1)\;, o número f(1) aparece explicitamente ali. Se a reta estiver em forma y=m_f x + b_f, então f(1)=m_f\cdot 1 + b_f.
Exemplo de como extrair f'(1) e f(1) a partir de dois pontos da reta tangente: se soubermos que a reta tangente passa pelos pontos (x_1,y_1) e (x_2,y_2), então o coeficiente angular é
m_f=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1},
e esse m_f é f'(1) (desde que esses pontos pertençam à reta tangente em x=1; normalmente a reta tangente é dada justamente no ponto x=1 ou pode-se usar a forma explícita para recuperar f(1)).

Passo 4

Como obter g^{\prime}\bigl(f(1)\bigr) se a questão fornecer retas tangentes ou gráfico de g:
  • Primeiro é preciso o número a=f(1). Sem f(1) não se sabe em qual abscissa de g procurar a derivada.
  • Se a reta tangente a y=g(x) no ponto x=a for dada por \;y=m_g x + b_g\; (ou \;y=g(a)+m_g(x-a)\;), então g^{\prime}(a)=m_g.
  • Se a reta tangente a g no ponto x=a não for fornecida explicitamente, talvez o gráfico de g permita estimar a inclinação ou haja pontos que permitam calcular a inclinação pela fórmula do passo anterior.
Resumo: para obter g'\bigl(f(1)\bigr) é preciso saber a=f(1) e então extrair o coeficiente angular m_g da reta tangente de g em x=a.

Passo 5

Juntando tudo: cálculo efetivo quando os dados estão disponíveis.
  • Passo A: determinar f(1).
  • Passo B: determinar f'(1) (coeficiente angular da reta tangente a f em x=1).
  • Passo C: com a=f(1), determinar g'(a) (coeficiente angular da reta tangente a g em x=a).
  • Passo D: aplicar
(g\circ f)^{\prime}(1)=g^{\prime}\bigl(f(1)\bigr)\cdot f^{\prime}(1).
Exemplo numérico ilustrativo (apenas para ver como os passos se aplicam): suponha que a reta tangente de f em x=1 seja y=3x-1. Então f'(1)=3 e f(1)=3\cdot1-1=2. Suponha que a reta tangente de g em x=2 seja y=-\tfrac{1}{4}x+5. Então g'(2)=-\tfrac{1}{4}. Logo
(g\circ f)^{\prime}(1)=g^{\prime}\bigl(f(1)\bigr)\cdot f^{\prime}(1)=\bigl(-\tfrac{1}{4}\bigr)\cdot 3=-\tfrac{3}{4}.
Isto mostra explicitamente como se usa a regra da cadeia e as retas tangentes para chegar ao valor final quando os dados são conhecidos.

Passo 6

Situação do enunciado que foi enviado: como não foram fornecidas nem as equações das retas tangentes nem os valores f(1), f'(1) e g'(f(1)), não é possível calcular um valor numérico para (g\circ f)^{\prime}(1). O que posso fazer é dar a fórmula final (já apresentada) e explicar como obter os números a partir das retas tangentes ou do gráfico, o que fiz nos passos anteriores.
Força — se houver uma figura ou as equações das retas tangentes que você esqueceu de enviar, manda que eu aplico estes passos e calculo o valor numérico contigo.

Resposta

Não é possível determinar numericamente (g\circ f)^{\prime}(1) porque faltam os valores f(1), f'(1) e g'\bigl(f(1)\bigr).

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