Exercício 24. Calcule os seguintes limites:
\lim _{x \rightarrow-\infty} x+\sqrt{x^{2}+2 x}

Passo 1

O enunciado pede o valor de
\lim_{x\to -\infty}\bigl(x + \sqrt{x^2 + 2x}\bigr).
Estamos lidando com um limite em que x tende a -\infty e a expressão é da forma “ -\infty + \infty”, que é indeterminada. Para resolver, vamos usar duas ideias clássicas: reconhecer o comportamento dominante de \sqrt{x^2+2x} para x muito negativo e racionalizar a expressão.

Passo 2

Primeiro, note que
\sqrt{x^2 + 2x} = |x|\;\sqrt{1 + \frac{2}{x}}.
Como x\to -\infty, temos |x| = -x. Logo
\sqrt{x^2 + 2x} = -x\,\sqrt{1 + \frac{2}{x}}.
Substituindo na soma,
x + \sqrt{x^2 + 2x} = x - x\,\sqrt{1 + \frac{2}{x}} = x\Bigl(1 - \sqrt{1 + \tfrac{2}{x}}\Bigr).

Passo 3

Para simplificar x\bigl(1 - \sqrt{1 + 2/x}\bigr), multiplicamos por sua conjugada:
1 - \sqrt{1 + \tfrac{2}{x}} \;\times\; \frac{1 + \sqrt{1 + \tfrac{2}{x}}}{\,1 + \sqrt{1 + \tfrac{2}{x}}\,} = \frac{1 - \bigl(1 + \tfrac{2}{x}\bigr)}{\,1 + \sqrt{1 + \tfrac{2}{x}}\,} = \frac{-\tfrac{2}{x}}{\,1 + \sqrt{1 + \tfrac{2}{x}}\,}.
Multiplicando de volta por x, obtemos
x\Bigl(1 - \sqrt{1 + \tfrac{2}{x}}\Bigr) = x \;\cdot\; \frac{-\tfrac{2}{x}}{\,1 + \sqrt{1 + \tfrac{2}{x}}\,} = \frac{-2}{\,1 + \sqrt{1 + \tfrac{2}{x}}\,}.

Passo 4

Agora basta avaliar o limite quando x\to -\infty. Como \tfrac{2}{x}\to 0, temos \sqrt{1 + 2/x}\to 1. Portanto
\lim_{x\to -\infty} \frac{-2}{\,1 + \sqrt{1 + \tfrac{2}{x}}\,} = \frac{-2}{1 + 1} = -1.

Resposta

-1

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