Exercício 24. Calcule os seguintes limites:
\lim _{x \rightarrow \infty} \sqrt{x+1}-\sqrt{x+3}

Passo 1

O enunciado pede o limite quando x\to\infty de \sqrt{x+1}-\sqrt{x+3}. O conteúdo é cálculo de limite de diferença de radicais, e vamos usar a técnica de racionalização multiplicando pelo conjugado para simplificar a expressão.

Passo 2

Multiplicamos numerador e denominador pelo conjugado \sqrt{x+1}+\sqrt{x+3}:
\sqrt{x+1}-\sqrt{x+3} = \frac{(\sqrt{x+1}-\sqrt{x+3})(\sqrt{x+1}+\sqrt{x+3})}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x+3}} = \frac{(x+1)-(x+3)}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x+3}} = \frac{-2}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x+3}}.

Passo 3

Quando x\to\infty, tanto \sqrt{x+1} quanto \sqrt{x+3} crescem como \sqrt{x}, de modo que o denominador \sqrt{x+1}+\sqrt{x+3}\sim2\sqrt{x}\to\infty. Portanto,
\frac{-2}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x+3}}\;\longrightarrow\;0.

Resposta

0

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