Prove pela definição que:
\lim _{x \rightarrow-\infty} e^{x}=0

Passo 1

O enunciado pede para provar, usando a definição de limite para x\to -\infty, que
\lim_{x\to -\infty}e^x = 0.
O conteúdo aqui é a definição de limite no infinito: dizemos que \lim_{x\to -\infty}f(x)=L se, para todo \varepsilon>0, existe uma constante M tal que, sempre que x<M, temos \lvert f(x)-L\rvert<\varepsilon.

Passo 2

Aplicando essa definição ao caso f(x)=e^x e L=0, queremos mostrar que:
para todo \varepsilon>0 existe M\in\mathbb{R} tal que, se x<M, então
\lvert e^x - 0\rvert < \varepsilon.
Como e^x>0 para todo x, isto é equivalente a
e^x < \varepsilon.

Passo 3

Para resolver a desigualdade e^x<\varepsilon, aplicamos o logaritmo natural em ambos os lados. Lembrando que \ln é estritamente crescente, obtemos
x < \ln(\varepsilon).
Logo, basta escolher
M = \ln(\varepsilon).

Passo 4

Concluímos que, dado qualquer \varepsilon>0, se definirmos M=\ln(\varepsilon), então sempre que x<M teremos
e^x < e^{M} = e^{\ln(\varepsilon)} = \varepsilon,
isto é, \lvert e^x - 0\rvert<\varepsilon. Isso satisfaz exatamente a definição de limite para x\to -\infty.

Resposta

\lim_{x\to -\infty}e^x = 0.

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