Prove pela definição que:
Passo 1
O enunciado pede para provar, usando a definição de limite para
, que
O conteúdo aqui é a definição de limite no infinito: dizemos que
se, para todo
, existe uma constante
tal que, sempre que
, temos
.
Passo 2
Aplicando essa definição ao caso
e
, queremos mostrar que:
para todo existe
tal que, se
, então
para todo
Como
para todo
, isto é equivalente a
Passo 3
Para resolver a desigualdade
, aplicamos o logaritmo natural em ambos os lados. Lembrando que
é estritamente crescente, obtemos
Logo, basta escolher
Passo 4
Concluímos que, dado qualquer
, se definirmos
, então sempre que
teremos
isto é,
. Isso satisfaz exatamente a definição de limite para
.