Exercício 4.25 Abaixo seguem derivadas f^{\prime} de funções f. Identifique os pontos críticos de f, os intervalos de crescimento e decrescimento de f e os pontos de máximo e mínimo locais de f. Considere que os domínios são sempre os maiores possíveis em \mathbb{R}.
f^{\prime}(x)=1-\frac{4}{x}

Passo 1

O enunciado dá a derivada
f'(x)=1-\frac{4}{x}
e pede: pontos críticos de f, intervalos de crescimento e decrescimento, e pontos de máximo e mínimo locais. O conteúdo é análise de sinais de f' para caracterizar o comportamento de f.

Passo 2

Determinamos o domínio de f. Como f'(x) envolve \tfrac1x, f só pode existir para x\neq 0. Logo o domínio de f é
(-\infty,0)\cup(0,\infty).

Passo 3

Encontramos os pontos críticos, ou seja, onde f'=0 ou onde f' não existe (mas f existe).
  1. f'(x)=0
1-\frac{4}{x}=0 \quad\Longrightarrow\quad \frac{4}{x}=1 \quad\Longrightarrow\quad x=4.
  1. f' não existe em x=0, mas f também não existe aí.
    Portanto o único ponto crítico é x=4.

Passo 4

Analisamos o sinal de
f'(x)=1-\frac{4}{x} =\frac{x-4}{x}.
Fazendo o quadro de sinais:
  • Para x<0: x-4<0 e x<0 geram f'(x)>0.
  • Para 0<x<4: x-4<0 e x>0 geram f'(x)<0.
  • Para x>4: x-4>0 e x>0 geram f'(x)>0.
Logo
\text{\(f\) cresce em }(-\infty,0)\cup(4,\infty), \quad \text{e decresce em }(0,4).

Passo 5

Usando a mudança de sinal de f' em x=4:
  • À esquerda de 4 (no intervalo (0,4)) temos f'<0.
  • À direita de 4 (no intervalo (4,\infty)) temos f'>0.
    Isso indica que em x=4 há um mínimo local. Não há ponto de máximo local pois não há troca de positivo para negativo em nenhum ponto do domínio.

Resposta

Ponto crítico: x=4
Intervalos de crescimento: (-\infty,0)\cup(4,\infty)
Intervalo de decrescimento: (0,4)
Mínimo local em x=4
Não há máximo local.

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