Exercício 4.25 Abaixo seguem derivadas
de funções
. Identifique os pontos críticos de
, os intervalos de crescimento e decrescimento de
e os pontos de máximo e mínimo locais de
. Considere que os domínios são sempre os maiores possíveis em
.
f^{\prime}(x)=1-\frac{4}{x}
f^{\prime}(x)=1-\frac{4}{x}
Passo 1
O enunciado dá a derivada
e pede: pontos críticos de
, intervalos de crescimento e decrescimento, e pontos de máximo e mínimo locais. O conteúdo é análise de sinais de
para caracterizar o comportamento de
.
Passo 2
Determinamos o domínio de
. Como
envolve
,
só pode existir para
Logo o domínio de
é
Passo 3
Encontramos os pontos críticos, ou seja, onde
ou onde
não existe (mas
existe).
-
dá
-
não existe em , mas também não existe aí.
Portanto o único ponto crítico é
Passo 4
Analisamos o sinal de
Fazendo o quadro de sinais:
- Para
: e geram . - Para
: e geram . - Para
: e geram .
Logo
Passo 5
Usando a mudança de sinal de
em
:
- À esquerda de
(no intervalo ) temos . - À direita de
(no intervalo ) temos .
Isso indica que emhá um mínimo local. Não há ponto de máximo local pois não há troca de positivo para negativo em nenhum ponto do domínio.
Resposta
Ponto crítico:
Intervalos de crescimento:
Intervalo de decrescimento:
Mínimo local em
Não há máximo local.
Intervalos de crescimento:
Intervalo de decrescimento:
Mínimo local em
Não há máximo local.