Exercício 4.25 Abaixo seguem derivadas
de funções
. Identifique os pontos críticos de
, os intervalos de crescimento e decrescimento de
e os pontos de máximo e mínimo locais de
. Considere que os domínios são sempre os maiores possíveis em
.
Passo 1
O enunciado dá a derivada
e pede: (i) pontos críticos de (onde
ou
não existe), (ii) intervalos nos quais
cresce ou decresce, e (iii) pontos de máximo e mínimo locais. Para isso, vamos usar análise de sinal de
em cada região do domínio.
e pede: (i) pontos críticos de
Passo 2
Encontrar os pontos críticos resolvendo
e identificando onde
não existe, ou seja, onde o denominador se anula. Assim temos
– e
fazem
.
– torna o denominador zero, logo
não existe em
.
Os pontos críticos são .
–
–
Os pontos críticos são
Passo 3
Analisar o sinal de
nos intervalos
,
,
e
:
– Para , tome
: numerador
, denominador
, logo
.
– Para , tome
: numerador
, denominador
, logo
.
– Para , tome
: numerador
, denominador
, logo
.
– Para , tome
: numerador
, denominador
, logo
.
– Para
– Para
– Para
– Para
Passo 4
Como
significa crescimento e
significa decrescimento, concluímos:
– é decrescente em
e em
.
– é crescente em
e em
.
–
–
Passo 5
Classificar extremos locais pelo cambio de sinal de
:
– Em ,
muda de negativo (à esquerda) para positivo (à direita) ⇒ mínimo local em
.
– Em ,
muda de positivo para negativo ⇒ máximo local em
.
– Em ,
muda de negativo para positivo ⇒ mínimo local em
.
– Em
– Em
– Em
Resposta
Pontos críticos:
.
Intervalos de crescimento: e
.
Intervalos de decrescimento: e
.
Máximo local em .
Mínimos locais em e
.
Intervalos de crescimento:
Intervalos de decrescimento:
Máximo local em
Mínimos locais em