Exercício 4.25 Abaixo seguem derivadas f^{\prime} de funções f. Identifique os pontos críticos de f, os intervalos de crescimento e decrescimento de f e os pontos de máximo e mínimo locais de f. Considere que os domínios são sempre os maiores possíveis em \mathbb{R}.
\mathrm{f}^{\prime}(\mathrm{x})=\frac{\mathrm{x}(\mathrm{x}-1)}{\mathrm{x}+2}

Passo 1

O enunciado dá a derivada \displaystyle f'(x)=\frac{x(x-1)}{x+2}
e pede: (i) pontos críticos de f (onde f'=0 ou f' não existe), (ii) intervalos nos quais f cresce ou decresce, e (iii) pontos de máximo e mínimo locais. Para isso, vamos usar análise de sinal de f' em cada região do domínio.

Passo 2

Encontrar os pontos críticos resolvendo
f'(x)=0\quad\Longrightarrow\quad x(x-1)=0
e identificando onde f' não existe, ou seja, onde o denominador se anula. Assim temos
x=0 e x=1 fazem f'(x)=0.
x=-2 torna o denominador zero, logo f' não existe em -2.
Os pontos críticos são x=-2,\;0,\;1.

Passo 3

Analisar o sinal de f'(x) nos intervalos (-\infty,-2), (-2,0), (0,1) e (1,\infty):
– Para x<-2, tome x=-3: numerador =(-3)(-4)>0, denominador =-1<0, logo f'(-3)<0.
– Para -2<x<0, tome x=-1: numerador =(-1)(-2)>0, denominador =1>0, logo f'(-1)>0.
– Para 0<x<1, tome x=0,5: numerador =0,5\cdot(-0,5)<0, denominador >0, logo f'(0,5)<0.
– Para x>1, tome x=2: numerador =2\cdot1>0, denominador >0, logo f'(2)>0.

Passo 4

Como f'\!>\!0 significa crescimento e f'\!<\!0 significa decrescimento, concluímos:
f é decrescente em (-\infty,-2) e em (0,1).
f é crescente em (-2,0) e em (1,\infty).

Passo 5

Classificar extremos locais pelo cambio de sinal de f':
– Em x=-2, f' muda de negativo (à esquerda) para positivo (à direita) ⇒ mínimo local em x=-2.
– Em x=0, f' muda de positivo para negativo ⇒ máximo local em x=0.
– Em x=1, f' muda de negativo para positivo ⇒ mínimo local em x=1.

Resposta

Pontos críticos: x=-2,\,0,\,1.
Intervalos de crescimento: (-2,0) e (1,\infty).
Intervalos de decrescimento: (-\infty,-2) e (0,1).
Máximo local em x=0.
Mínimos locais em x=-2 e x=1.

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