Exercício 4.26 Identifique os pontos críticos de f dada abaixo, os intervalos de crescimento e decrescimento de f e os pontos e valores máximos e mínimos locais de f. Considere que os domínios são sempre os maiores possíveis em \mathbb{R}.
f(x)=-x^{2}-3 x+3

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x) = -x^{2} - 3x + 3
definida em \mathbb{R}. Precisamos encontrar os pontos críticos (onde f'(x)=0 ou f' não está definida), os intervalos de crescimento e decrescimento e os extremos locais de f.

Passo 2

Calculamos a derivada de f, que existe para todo x\in\mathbb{R}:
f'(x) = \frac{d}{dx}\bigl(-x^{2}-3x+3\bigr) = -2x - 3.
Para achar os pontos críticos, resolvemos
-2x - 3 = 0 \quad\Longrightarrow\quad x = -\frac{3}{2}.

Passo 3

Analisamos o sinal de f'(x) = -2x - 3:
- Se x < -\tfrac{3}{2}, então -2x - 3 > 0, logo f'(x)>0 e f é crescente.
- Se x > -\tfrac{3}{2}, então -2x - 3 < 0, logo f'(x)<0 e f é decrescente.

Passo 4

Como f' passa de positiva para negativa em x=-\tfrac{3}{2}, temos um máximo local aí. Calculamos o valor:
f\!\bigl(-\tfrac{3}{2}\bigr) = -\bigl(-\tfrac{3}{2}\bigr)^{2} -3\bigl(-\tfrac{3}{2}\bigr) +3 = -\tfrac{9}{4} + \tfrac{9}{2} + 3 = \tfrac{21}{4}.
Não há mínimo local, pois não há outra mudança de sinal de f'.

Resposta

Ponto crítico: x=-\tfrac{3}{2}.
Intervalo de crescimento: (-\infty,-\tfrac{3}{2}).
Intervalo de decrescimento: (-\tfrac{3}{2},\infty).
Máximo local em x=-\tfrac{3}{2} com valor f(-\tfrac{3}{2})=\tfrac{21}{4}.
Não há mínimo local.

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