Exercício 4.25 Abaixo seguem derivadas
de funções
. Identifique os pontos críticos de
, os intervalos de crescimento e decrescimento de
e os pontos de máximo e mínimo locais de
. Considere que os domínios são sempre os maiores possíveis em
.
Passo 1
O enunciado nos dá a derivada
e pede os pontos críticos de
, os intervalos de crescimento e decrescimento e os extremos locais. Para isso vamos:
– achar onde ou indefinida (pontos críticos);
– analisar o sinal de para determinar monotonicidade;
– usar o teste da primeira derivada para classificar máximos e mínimos.
– achar onde
– analisar o sinal de
– usar o teste da primeira derivada para classificar máximos e mínimos.
Passo 2
Para encontrar os pontos críticos, resolvemos
Como
para todo
, temos
A derivada existe em todo
, logo o único ponto crítico é
.
Passo 3
Analisamos o sinal de
. Como
segue que
Portanto
– se
,
– se
.
–
–
Passo 4
Pelos sinais de
, concluímos que
– é decrescente em
,
– é crescente em
.
–
–
Passo 5
No ponto crítico
a derivada muda de negativa para positiva, indicando um mínimo local em
. Não ocorre mudança de positivo para negativo em nenhum ponto, logo não há máximo local.
Resposta
Ponto(s) crítico(s):
Intervalos de crescimento:
Intervalos de decrescimento:
Mínimo local em:
Sem máximo local
Intervalos de crescimento:
Intervalos de decrescimento:
Mínimo local em:
Sem máximo local