Exercício 4.25 Abaixo seguem derivadas f^{\prime} de funções f. Identifique os pontos críticos de f, os intervalos de crescimento e decrescimento de f e os pontos de máximo e mínimo locais de f. Considere que os domínios são sempre os maiores possíveis em \mathbb{R}.
\mathrm{f}^{\prime}(\mathrm{x})=(\mathrm{x}-1) e^{-\mathrm{x}}

Passo 1

O enunciado nos dá a derivada
f'(x) = (x-1)e^{-x}
e pede os pontos críticos de f, os intervalos de crescimento e decrescimento e os extremos locais. Para isso vamos:
– achar onde f'(x)=0 ou indefinida (pontos críticos);
– analisar o sinal de f'(x) para determinar monotonicidade;
– usar o teste da primeira derivada para classificar máximos e mínimos.

Passo 2

Para encontrar os pontos críticos, resolvemos
(x-1)e^{-x} = 0.
Como e^{-x}>0 para todo x, temos
x-1 = 0 \quad\Longrightarrow\quad x = 1.
A derivada existe em todo \mathbb{R}, logo o único ponto crítico é x=1.

Passo 3

Analisamos o sinal de f'(x). Como
e^{-x}>0\quad\text{sempre},
segue que
\sgn\bigl(f'(x)\bigr) = \sgn(x-1).
Portanto
f'(x)<0 se x<1,
f'(x)>0 se x>1.

Passo 4

Pelos sinais de f'(x), concluímos que
f é decrescente em (-\infty,1),
f é crescente em (1,\infty).

Passo 5

No ponto crítico x=1 a derivada muda de negativa para positiva, indicando um mínimo local em x=1. Não ocorre mudança de positivo para negativo em nenhum ponto, logo não há máximo local.

Resposta

Ponto(s) crítico(s): x=1
Intervalos de crescimento: (1,\infty)
Intervalos de decrescimento: (-\infty,1)
Mínimo local em: x=1
Sem máximo local

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