Exercício 25. A medida do ângulo \theta entre uma reta r e um plano \pi é calculada pela fórmula
\operatorname{sen} \theta=\frac{|\vec{n} \cdot \vec{u}|}{\|\vec{n}\| \cdot\|\vec{u}\|},
para 0 \leq \theta \leq \frac{\pi}{2}, e onde \vec{n} é um vetor normal ao plano \pi e \vec{u} é um vetor diretor da reta r.
Calcule a medida do ângulo \theta entre r:\left\{\begin{array}{l}x=-\lambda \\\ y=1-\lambda \\\ z=0\end{array},(\lambda \in \mathbb{R})\right., e \pi: y+z-10=0.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede.
  • O enunciado nos dá a reta r\) por sua forma paramétrica: \[r:\begin{cases} x=-\lambda\\[4pt] y=1-\lambda\\[4pt] z=0 \end{cases},\qquad (\lambda\in\mathbb{R}).
  • O enunciado nos dá o plano \pi\] pela equação cartesiana: \[\pi:\; y+z-10=0.\] - O enunciado pede a medida do ângulo \(\theta entre a reta r e o plano \pi, usando a fórmula
\operatorname{sen}\theta=\frac{|\vec{n}\cdot\vec{u}|}{\|\vec{n}\|\cdot\|\vec{u}\|}, \quad 0\le\theta\le\frac{\pi}{2},
onde \vec{n} é um vetor normal ao plano \pi e \vec{u} é um vetor diretor da reta r.]

Passo 2

Encontrar um vetor diretor \vec{u} da reta r.
  • A forma paramétrica x=-\lambda,\;y=1-\lambda,\;z=0 pode ser vista como
\begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix} + \lambda\begin{pmatrix}-1\\\ -1\\\ 0\end{pmatrix}.
  • Portanto, um vetor diretor da reta é
\vec{u} = \begin{pmatrix}-1\\\ -1\\\ 0\end{pmatrix}.
(Comentário didático rápido sobre vetores diretores: a cada coordenada aparece um termo do tipo constante + (coeficiente) \cdot\lambda; esses coeficientes formam o vetor diretor.)

Passo 3

Encontrar um vetor normal \vec{n} ao plano \pi.
  • A equação do plano \pi é y+z-10=0. Os coeficientes de x,y,z na equação ax+by+cz+d=0 fornecem um vetor normal \vec{n}=(a,b,c).
  • Aqui o coeficiente de x é 0, de y é 1 e de z é 1. Logo
\vec{n} = \begin{pmatrix}0\\\ 1\\\ 1\end{pmatrix}.

Passo 4

Explicar e calcular o produto escalar \vec{n}\cdot\vec{u}.
  • Lembrete: o produto escalar entre \vec{a}=(a_1,a_2,a_3) e \vec{b}=(b_1,b_2,b_3) é
\vec{a}\cdot\vec{b}=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3.
  • Aplicando a \vec{n} e \vec{u}:
\vec{n}\cdot\vec{u} = (0)\cdot(-1)+(1)\cdot(-1)+(1)\cdot 0 = -1.
  • Tomando o valor absoluto que aparece na fórmula:
|\vec{n}\cdot\vec{u}| = |{-1}| = 1.

Passo 5

Calcular as normas \|\vec{n}\| e \|\vec{u}\| e o denominador da fórmula.
  • Lembrete: a norma de \vec{v}=(v_1,v_2,v_3) é \|\vec{v}\|=\sqrt{v_1^2+v_2^2+v_3^2}.
  • Para \vec{n}=(0,1,1):
\|\vec{n}\|=\sqrt{0^2+1^2+1^2}=\sqrt{2}.
  • Para \vec{u}=(-1,-1,0):
\|\vec{u}\|=\sqrt{(-1)^2+(-1)^2+0^2}=\sqrt{2}.
  • Portanto o produto das normas é
\|\vec{n}\|\cdot\|\vec{u}\|=\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}=2.

Passo 6

Aplicar a fórmula para obter \operatorname{sen}\theta e relacionar com \theta.
  • Pela fórmula dada:
\operatorname{sen}\theta=\frac{|\vec{n}\cdot\vec{u}|}{\|\vec{n}\|\cdot\|\vec{u}\|} =\frac{1}{2}.
  • Como o enunciado fixa 0\le\theta\le\frac{\pi}{2}, a única solução é
\theta=\arcsin\!\left(\tfrac{1}{2}\right).

Resposta

\theta=\dfrac{\pi}{6}=30^\circ

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