para 0 \leq \theta \leq \frac{\pi}{2}, e onde \vec{n} é um vetor normal ao plano \pi e \vec{u} é um vetor diretor da reta r.
Calcule a medida do ângulo \theta entre r:\left\{\begin{array}{l}x=-\lambda \\\ y=1-\lambda \\\ z=0\end{array},(\lambda \in \mathbb{R})\right., e \pi: y+z-10=0.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede.
O enunciado nos dá a reta r\) por sua forma paramétrica:
\[r:\begin{cases} x=-\lambda\\[4pt] y=1-\lambda\\[4pt] z=0 \end{cases},\qquad (\lambda\in\mathbb{R}).
O enunciado nos dá o plano \pi\] pela equação cartesiana:
\[\pi:\; y+z-10=0.\]
- O enunciado pede a medida do ângulo \(\theta entre a reta r e o plano \pi, usando a fórmula
(Comentário didático rápido sobre vetores diretores: a cada coordenada aparece um termo do tipo constante + (coeficiente)\cdot\lambda; esses coeficientes formam o vetor diretor.)
Passo 3
Encontrar um vetor normal \vec{n} ao plano \pi.
A equação do plano \pi é y+z-10=0. Os coeficientes de x,y,z na equação ax+by+cz+d=0 fornecem um vetor normal \vec{n}=(a,b,c).
Aqui o coeficiente de x é 0, de y é 1 e de z é 1. Logo