Exercício 21. Se \pi: a x+b y+c z+d=0 (onde (a, b, c) \neq \overrightarrow{0}) e P=(\alpha, \beta, \gamma), determine a distância de P ao plano \pi.

Passo 1

O enunciado dá:
  • Um plano \pi com equação a x+b y+c z+d=0, onde (a,b,c)\neq\overrightarrow{0}.
  • Um ponto P=(\alpha,\beta,\gamma).
O que se pede:
  • Determinar a distância (o menor comprimento) entre o ponto P e o plano \pi.

Passo 2

Intuição e ideia geral (sem resolver ainda): a distância de P ao plano é o comprimento do segmento perpendicular ao plano que liga P ao ponto mais próximo do plano. Esse comprimento é a projeção do vetor que liga qualquer ponto do plano até P sobre a direção normal ao plano.
Para formalizar isso:
  • Defina o vetor normal ao plano \pi como \displaystyle n=(a,b,c).
  • A norma (comprimento) de n é \displaystyle \|n\|=\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}.
  • O versor (vetor unitário) normal é \displaystyle \hat{n}=\frac{n}{\|n\|}=\left(\frac{a}{\|n\|},\frac{b}{\|n\|},\frac{c}{\|n\|}\right).
Lembrete sobre projeção: a projeção (assinada) de um vetor v sobre a direção unitária \hat{n} é dada por v\cdot\hat{n}. O comprimento escalar dessa projeção é |v\cdot\hat{n}| quando queremos distância não-negativa.

Passo 3

Escolher um ponto qualquer Q=(x_{0},y_{0},z_{0}) que pertença ao plano \pi. Por definição de ponto do plano, Q satisfaz
a x_{0}+b y_{0}+c z_{0}+d=0.
Considere o vetor que vai de Q para P:
\overrightarrow{QP}=P-Q=(\alpha-x_{0},\,\beta-y_{0},\,\gamma-z_{0}).
A distância (positiva) entre P e o plano é o comprimento da projeção de \overrightarrow{QP} na direção normal, isto é
\text{dist}(P,\pi)=\left|\overrightarrow{QP}\cdot\hat{n}\right|.

Passo 4

Calcule \overrightarrow{QP}\cdot\hat{n} usando \hat{n}=\dfrac{(a,b,c)}{\|n\|}:
\overrightarrow{QP}\cdot\hat{n}=\frac{1}{\|n\|}\bigl(a(\alpha-x_{0})+b(\beta-y_{0})+c(\gamma-z_{0})\bigr).
Agrupando termos:
a(\alpha-x_{0})+b(\beta-y_{0})+c(\gamma-z_{0})=a\alpha+b\beta+c\gamma-(a x_{0}+b y_{0}+c z_{0}).
Mas como Q está no plano, a x_{0}+b y_{0}+c z_{0}=-d. Portanto
a(\alpha-x_{0})+b(\beta-y_{0})+c(\gamma-z_{0})=a\alpha+b\beta+c\gamma+d.
Assim
\overrightarrow{QP}\cdot\hat{n}=\frac{a\alpha+b\beta+c\gamma+d}{\|n\|}.

Passo 5

Como a distância é o valor absoluto da projeção assinada, obtemos a fórmula final:
\text{dist}(P,\pi)=\left|\overrightarrow{QP}\cdot\hat{n}\right|=\frac{\bigl|a\alpha+b\beta+c\gamma+d\bigr|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}.
Observe que a expressão no numerador é simplesmente o valor da expressão do plano avaliada nas coordenadas de P: a\alpha+b\beta+c\gamma+d. O valor absoluto garante que a distância seja não-negativa (o sinal só indica em que lado do plano o ponto está).

Passo 6

Exemplo numérico rápido para fixar a ideia: se o plano é x+2y-2z+3=0 e P=(1,0,0), então
\text{numerador}=|1\cdot1+2\cdot0-2\cdot0+3|=|4|=4, \qquad \text{denominador}=\sqrt{1^{2}+2^{2}+(-2)^{2}}=\sqrt{1+4+4}=\sqrt{9}=3,
logo \text{dist}(P,\pi)=\dfrac{4}{3}.
Dica final: basta substituir as coordenadas de P na expressão do plano para obter o numerador; depois divide-se pela norma do vetor normal.

Resposta

\displaystyle \text{dist}(P,\pi)=\frac{\bigl|a\alpha+b\beta+c\gamma+d\bigr|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}

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