Exercício 21. Se \pi: a x+b y+c z+d=0 (onde (a, b, c) \neq \overrightarrow{0}) e P=(\alpha, \beta, \gamma), determine a distância de P ao plano \pi.
Passo 1
O enunciado dá:
Um plano \pi com equação a x+b y+c z+d=0, onde (a,b,c)\neq\overrightarrow{0}.
Um ponto P=(\alpha,\beta,\gamma).
O que se pede:
Determinar a distância (o menor comprimento) entre o ponto P e o plano \pi.
Passo 2
Intuição e ideia geral (sem resolver ainda): a distância de P ao plano é o comprimento do segmento perpendicular ao plano que liga P ao ponto mais próximo do plano. Esse comprimento é a projeção do vetor que liga qualquer ponto do plano até P sobre a direção normal ao plano.
Para formalizar isso:
Defina o vetor normal ao plano \pi como \displaystyle n=(a,b,c).
A norma (comprimento) de n é \displaystyle \|n\|=\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}.
O versor (vetor unitário) normal é \displaystyle \hat{n}=\frac{n}{\|n\|}=\left(\frac{a}{\|n\|},\frac{b}{\|n\|},\frac{c}{\|n\|}\right).
Lembrete sobre projeção: a projeção (assinada) de um vetor v sobre a direção unitária \hat{n} é dada por v\cdot\hat{n}. O comprimento escalar dessa projeção é |v\cdot\hat{n}| quando queremos distância não-negativa.
Passo 3
Escolher um ponto qualquer Q=(x_{0},y_{0},z_{0}) que pertença ao plano \pi. Por definição de ponto do plano, Q satisfaz
Observe que a expressão no numerador é simplesmente o valor da expressão do plano avaliada nas coordenadas de P: a\alpha+b\beta+c\gamma+d. O valor absoluto garante que a distância seja não-negativa (o sinal só indica em que lado do plano o ponto está).
Passo 6
Exemplo numérico rápido para fixar a ideia: se o plano é x+2y-2z+3=0 e P=(1,0,0), então