Exercício 25. *0 Mostre que
(b) P\left(A \cap B^{c}\right)=P(A)-P(A \cap B)

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para quaisquer eventos A e B num espaço de probabilidade, vale
P\bigl(A\cap B^{c}\bigr)=P(A)-P\bigl(A\cap B\bigr).
O conteúdo usado será a decomposição de conjuntos e o axioma da aditividade de probabilidade para eventos disjuntos.

Passo 2

Note que todo elemento de A ou está em B ou está em B^{c}. Portanto, podemos escrever
A = \bigl(A\cap B\bigr)\;\cup\;\bigl(A\cap B^{c}\bigr).
Além disso, os conjuntos A\cap B e A\cap B^{c} são disjuntos, pois não há elemento que simultaneamente esteja em B e em B^{c}. Pelo axioma da aditividade para eventos disjuntos,
P(A) = P\bigl(A\cap B\bigr) + P\bigl(A\cap B^{c}\bigr).

Passo 3

Isolando P\bigl(A\cap B^{c}\bigr) na igualdade anterior, obtemos
P\bigl(A\cap B^{c}\bigr) = P(A) - P\bigl(A\cap B\bigr),
que é exatamente o que se queria demonstrar.

Resposta

P\bigl(A\cap B^{c}\bigr)=P(A)-P\bigl(A\cap B\bigr).

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