Exercício 26. No processo produtivo de uma indústria são utilizadas diariamente duas unidades de um certo insumo. Ocorre que as diferentes formulações desse insumo podem afetar ou não o nível de poluição ambiental. Num determinado dia verifica-se que a empresa possui 40 unidades desse insumo em estoque, entre as quais 10 são poluentes e 30 não poluentes. Se as duas unidades utilizadas em um determinado dia forem selecionadas aleatoriamente uma após a outra, qual a probabilidade de que
(a) segunda unidade também seja poluente, se a primeira for poluente?
(b) as duas unidades selecionadas aleatoriamente sejam não poluentes?
(c) nas duas unidades selecionadas aleatoriamente, uma seja poluente e a outra não?

Passo 1

O enunciado descreve um estoque de 40 unidades de um insumo, das quais 10 são poluentes e 30 não poluentes. Retiram-se duas unidades sem reposição, uma após a outra. O conteúdo é probabilidade condicional e probabilidade conjunta em amostragem sem reposição (modelo hipergeométrico). Vamos calcular:
  • (a) P(\text{2ª poluente}\mid \text{1ª poluente})ªª
  • (b) P(\text{ambas não poluentes})ã
  • (c) P(\text{uma poluente e uma não poluente})ã

Passo 2

Para (a), dado que a primeira foi poluente, restam 10-1=9 poluentes em um total de 40-1=39. Logo
P(\text{2ª poluente}\mid \text{1ª poluente}) =\frac{9}{39} =\frac{3}{13}.ªª

Passo 3

Para (b), a probabilidade de tirar duas não poluentes em sequência sem reposição é
P(\text{1ª não})\;=\;\frac{30}{40}, \quad P(\text{2ª não}\mid \text{1ª não})\;=\;\frac{29}{39},ªãªãªã
portanto
P(\text{ambas não poluentes}) =\frac{30}{40}\times\frac{29}{39} =\frac{870}{1560} =\frac{29}{52}.ã

Passo 4

Para (c), “uma poluente e uma não” ocorre em duas ordens: P→N ou N→P.
P(\text{P\toN}) =\frac{10}{40}\times\frac{30}{39}, \quad P(\text{N\toP}) =\frac{30}{40}\times\frac{10}{39}.
Somando,
P(\text{uma de cada}) =2\cdot\frac{10}{40}\cdot\frac{30}{39} =\frac{600}{1560} =\frac{5}{13}.

Resposta

(a) \displaystyle \tfrac{3}{13}.
(b) \displaystyle \tfrac{29}{52}.
(c) \displaystyle \tfrac{5}{13}.

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