Exercício 25. *0 Mostre que
(a) P\left(A^{c} \cap B^{c}\right)=1-P(A)-P(B)+P(A \cap B)

Passo 1

O enunciado pede para provar a identidade de probabilidade envolvendo complementos e interseções:
mostrar que
P\bigl(A^{c}\cap B^{c}\bigr) = 1 - P(A) - P(B) + P\bigl(A\cap B\bigr).
Para isso vamos usar duas propriedades básicas de probabilidade: a lei do complemento e a fórmula de inclusão–exclusão.

Passo 2

Pela lei de De Morgan, temos
A^{c}\cap B^{c} = (A\cup B)^{c}.
E pela regra do complemento em probabilidade, vale
P\bigl((A\cup B)^{c}\bigr) = 1 - P(A\cup B).
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P\bigl(A^{c}\cap B^{c}\bigr) = 1 - P(A\cup B).

Passo 3

Agora aplicamos a fórmula de inclusão–exclusão para P(A\cup B):
P(A\cup B) = P(A) + P(B) - P(A\cap B).
Substituindo em 1 - P(A\cup B), obtemos
1 - P(A\cup B) = 1 - \bigl[P(A) + P(B) - P(A\cap B)\bigr] = 1 - P(A) - P(B) + P(A\cap B).
Isso termina a demonstração.

Resposta

P\bigl(A^{c}\cap B^{c}\bigr) = 1 - P(A) - P(B) + P\bigl(A\cap B\bigr).

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