Exercício 4 [25 pontos]: Seja
uma região fechada em
, cuja fronteira é denotada por
. Considere o campo vetorial dado por
Passo 1
O enunciado dá uma região fechada em
— vou chamar essa região de
e sua fronteira de
(o enunciado escreveu
, mas interpreto que é a fronteira de
). Também é dado o campo vetorial
A pergunta típica para esse exercício (e que vou responder aqui sem pedir nada) é: calcular o fluxo de
através da superfície fechada
, isto é avaliar
onde
é o vetor normal exterior a
.
Dados relevantes listados:
Dados relevantes listados:
-
é radial: , com e . -
é singular (não definida) em (a origem). - O resultado do fluxo depende se a origem está dentro de
, fora de ou exatamente sobre . Vou tratar todos esses casos.
Passo 2
Primeira ferramenta: Teorema da Divergência (Gauss). Vou relembrar e explicar quando posso usá-lo e como aplicá-lo aqui.
O Teorema da Divergência diz que, para uma região
com fronteira suave e para um campo
suficientemente suave (por exemplo
) em uma vizinhança de
,
Explicando as variáveis:
-
é o campo vetorial ( ). -
é o vetor normal exterior a . -
é a divergência de , função escalar dada por .
Importante: só posso aplicar diretamente o teorema sefor em toda a região fechada (incluindo fronteira). Aqui tem problema na origem. Então primeiro vou calcular para pontos fora da origem e ver o que acontece.
Passo 3
Cálculo da divergência de
para
.
Defina
e
. Então
.
Há uma identidade útil (que vou demonstrar de forma direta e simples): para
com
função de
,
Explicação curta da identidade: cada componente é
. Então
. Como
, somando em
obtemos
.
Agora aplico com
. Calculando
. Então
para todo
com
. Conclusão:
em
.
Interpretação física: o campo é “fonte-livre” em todos os pontos, exceto possivelmente na origem.
Passo 4
Caso 1 — a origem
NÃO está dentro de
.
Se
então
é
em uma vizinhança de
e podemos aplicar o Teorema da Divergência diretamente:
Portanto, quando a origem não pertence a
, o fluxo é
. Intuitivamente: não há fontes nem sumidouros dentro da região.
Passo 5
Caso 2 — a origem
está dentro de
.
Aqui não podemos aplicar o Teorema da Divergência diretamente porque
não é definida em
. A técnica padrão é retirar uma pequena bola
de raio
centrada na origem (com
suficientemente pequeno para que
), e aplicar o teorema à região regular
. A fronteira de
é a união de
(com normal exterior usual) e da esfera
(para
a normal em
aponta para fora de
, ou seja, aponta para dentro da bola — com sinal que precisamos cuidar). Escrevendo o teorema:
Como
em
, o lado direito é zero. Assim
Agora devemos interpretar o sinal:
é a normal exterior a
. Na esfera
essa normal aponta para fora de
, ou seja, aponta para dentro da bola
; a normal exterior à bola (aquela usada para calcular fluxo sobre a esfera isolada) aponta no sentido oposto. Se chamarmos
a normal exterior à bola (apontando para fora da bola), então
. Portanto
Ou seja: o fluxo pela fronteira grande
é igual ao fluxo pela pequena esfera
(e não depende de
, como veremos).
Passo 6
Cálculo explícito do fluxo através da esfera de raio
centrada na origem.
Num ponto da esfera temos
com
. Sobre
:
A normal exterior à bola é
Logo o produto escalar
O elemento de área da esfera é
, onde
é o elemento de ângulo sólido (ou, explicitamente,
). Portanto o fluxo pela esfera é
A integral do elemento de ângulo sólido sobre toda a esfera unitária é
. Assim obtemos
Como esse valor é independente de
, pela relação do passo anterior concluímos que, quando a origem está dentro de
,
Esse é um resultado clássico: campo radial
tem fluxo
através de qualquer superfície fechada que envolve a origem.
Passo 7
Caso 3 — a origem
está exatamente sobre
.
Aqui a integral de superfície é imprópria porque o campo tem singularidade sobre a própria superfície de integração. Em geral:
- Se a fronteira
for suave na vizinhança da origem e dividir o espaço localmente em duas metades (como uma superfície suave passando pelo ponto), então a fração do ângulo sólido visto da origem correspondente à superfície fechada é , e a contribuição local costuma ser metade de , ou seja . Assim, em muitos casos suaves o valor limite é . - Porém o resultado pode depender da geometria local da superfície em torno da origem (o ângulo sólido subtendido pela superfície fechada em relação ao ponto singular). Logo, sem mais informação sobre a forma de
perto da origem, não se pode dar um valor único e bem definido para o fluxo; é um caso que exige análise mais refinada (definir limite adequado, valor principal, etc.).
Resumo prático: origem sobre a fronteira => integral é impropria; em caso suave típico, o valor-limite será
, mas é preciso especificar a geometria para afirmar isso sem ambiguidade.
Resposta
Se
:
Se :
Se : integral imprópria (sem valor único a menos que se especifique a geometria; para superfície suave típica o valor-limite é
).
Se
Se