Exercício 4 [25 pontos]: Seja W uma região fechada em \mathbb{R}^{3}, cuja fronteira é denotada por \partial S. Considere o campo vetorial dado por
\boldsymbol{F}(x, y, z)=\frac{1}{\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{3 / 2}} \cdot(x, y, z)

Passo 1

O enunciado dá uma região fechada em \mathbb{R}^3 — vou chamar essa região de W e sua fronteira de \partial W (o enunciado escreveu \partial S, mas interpreto que é a fronteira de W). Também é dado o campo vetorial
\boldsymbol{F}(x,y,z)=\frac{1}{\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{3/2}}\,(x,y,z).
A pergunta típica para esse exercício (e que vou responder aqui sem pedir nada) é: calcular o fluxo de \boldsymbol{F} através da superfície fechada \partial W, isto é avaliar
\iint_{\partial W}\boldsymbol{F}\cdot\mathbf{n}\,dS,
onde \mathbf{n} é o vetor normal exterior a W.
Dados relevantes listados:
  • \boldsymbol{F} é radial: \boldsymbol{F}(\mathbf{r})=\dfrac{\mathbf{r}}{\lVert \mathbf{r}\rVert^{3}}, com \mathbf{r}=(x,y,z) e \lVert\mathbf{r}\rVert=\sqrt{x^2+y^2+z^2}.
  • \boldsymbol{F} é singular (não definida) em \mathbf{r}=\mathbf{0} (a origem).
  • O resultado do fluxo depende se a origem está dentro de W, fora de W ou exatamente sobre \partial W. Vou tratar todos esses casos.

Passo 2

Primeira ferramenta: Teorema da Divergência (Gauss). Vou relembrar e explicar quando posso usá-lo e como aplicá-lo aqui.
O Teorema da Divergência diz que, para uma região V com fronteira suave e para um campo \boldsymbol{G} suficientemente suave (por exemplo C^1) em uma vizinhança de V,
\iint_{\partial V}\boldsymbol{G}\cdot\mathbf{n}\,dS=\iiint_{V}\nabla\cdot\boldsymbol{G}\,dV.
Explicando as variáveis:
  • \boldsymbol{G} é o campo vetorial ( \text{mapeia } \mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3).
  • \mathbf{n} é o vetor normal exterior a \partial V.
  • \nabla\cdot\boldsymbol{G} é a divergência de \boldsymbol{G}, função escalar dada por \partial G_1/\partial x+\partial G_2/\partial y+\partial G_3/\partial z.
    Importante: só posso aplicar diretamente o teorema se \boldsymbol{G} for C^1 em toda a região fechada (incluindo fronteira). Aqui \boldsymbol{F} tem problema na origem. Então primeiro vou calcular \nabla\cdot\boldsymbol{F} para pontos fora da origem e ver o que acontece.

Passo 3

Cálculo da divergência de \boldsymbol{F} para \mathbf{r}\neq\mathbf{0}.
Defina r=\lVert\mathbf{r}\rVert=\sqrt{x^2+y^2+z^2} e \varphi(r)=r^{-3}. Então \boldsymbol{F}(\mathbf{r})=\varphi(r)\,\mathbf{r}.
Há uma identidade útil (que vou demonstrar de forma direta e simples): para \boldsymbol{G}(\mathbf{r})=\varphi(r)\mathbf{r} com \varphi função de r,
\nabla\cdot\boldsymbol{G}=3\varphi(r)+r\,\varphi'(r).
Explicação curta da identidade: cada componente é G_i=\varphi(r)x_i. Então \partial_{x_i}G_i=\varphi(r)+x_i\varphi'(r)\partial_{x_i}r. Como \partial_{x_i}r=x_i/r, somando em i=1,2,3 obtemos 3\varphi + \varphi'(r)\frac{x_1^2+x_2^2+x_3^2}{r}=3\varphi + r\varphi'(r).
Agora aplico com \varphi(r)=r^{-3}. Calculando \varphi'(r)=-3r^{-4}. Então
\nabla\cdot\boldsymbol{F}=3r^{-3}+r(-3r^{-4})=3r^{-3}-3r^{-3}=0,
para todo \mathbf{r} com r>0. Conclusão: \nabla\cdot\boldsymbol{F}=0 em \mathbb{R}^3\setminus\{\mathbf{0}\}.
Interpretação física: o campo é “fonte-livre” em todos os pontos, exceto possivelmente na origem.

Passo 4

Caso 1 — a origem \mathbf{0} NÃO está dentro de W.
Se \mathbf{0}\notin W então \boldsymbol{F} é C^1 em uma vizinhança de W e podemos aplicar o Teorema da Divergência diretamente:
\iint_{\partial W}\boldsymbol{F}\cdot\mathbf{n}\,dS=\iiint_{W}\nabla\cdot\boldsymbol{F}\,dV=\iiint_{W}0\,dV=0.
Portanto, quando a origem não pertence a W, o fluxo é 0. Intuitivamente: não há fontes nem sumidouros dentro da região.

Passo 5

Caso 2 — a origem \mathbf{0} está dentro de W.
Aqui não podemos aplicar o Teorema da Divergência diretamente porque \boldsymbol{F} não é definida em \mathbf{0}. A técnica padrão é retirar uma pequena bola B_\varepsilon de raio \varepsilon>0 centrada na origem (com \varepsilon suficientemente pequeno para que B_\varepsilon\subset W), e aplicar o teorema à região regular V=W\setminus B_\varepsilon. A fronteira de V é a união de \partial W (com normal exterior usual) e da esfera S_\varepsilon=\partial B_\varepsilon (para V a normal em S_\varepsilon aponta para fora de V, ou seja, aponta para dentro da bola — com sinal que precisamos cuidar). Escrevendo o teorema:
\iint_{\partial W}\boldsymbol{F}\cdot\mathbf{n}\,dS+\iint_{S_\varepsilon}\boldsymbol{F}\cdot\mathbf{n}_V\,dS=\iiint_{V}\nabla\cdot\boldsymbol{F}\,dV.
Como \nabla\cdot\boldsymbol{F}=0 em V, o lado direito é zero. Assim
\iint_{\partial W}\boldsymbol{F}\cdot\mathbf{n}\,dS=-\iint_{S_\varepsilon}\boldsymbol{F}\cdot\mathbf{n}_V\,dS.
Agora devemos interpretar o sinal: \mathbf{n}_V é a normal exterior a V. Na esfera S_\varepsilon essa normal aponta para fora de V, ou seja, aponta para dentro da bola B_\varepsilon; a normal exterior à bola (aquela usada para calcular fluxo sobre a esfera isolada) aponta no sentido oposto. Se chamarmos \mathbf{n}_\text{esfera} a normal exterior à bola (apontando para fora da bola), então \mathbf{n}_V=-\mathbf{n}_\text{esfera}. Portanto
\iint_{\partial W}\boldsymbol{F}\cdot\mathbf{n}\,dS=\iint_{S_\varepsilon}\boldsymbol{F}\cdot\mathbf{n}_\text{esfera}\,dS.
Ou seja: o fluxo pela fronteira grande \partial W é igual ao fluxo pela pequena esfera S_\varepsilon (e não depende de \varepsilon, como veremos).

Passo 6

Cálculo explícito do fluxo através da esfera de raio \varepsilon centrada na origem.
Num ponto da esfera temos (x,y,z) com x^2+y^2+z^2=\varepsilon^2. Sobre S_\varepsilon:
\boldsymbol{F}=\frac{1}{\varepsilon^{3}}(x,y,z).
A normal exterior à bola é
\mathbf{n}_\text{esfera}=\frac{1}{\varepsilon}(x,y,z).
Logo o produto escalar
\boldsymbol{F}\cdot\mathbf{n}_\text{esfera} =\frac{1}{\varepsilon^{3}}(x,y,z)\cdot\frac{1}{\varepsilon}(x,y,z) =\frac{1}{\varepsilon^{4}}(x^2+y^2+z^2) =\frac{1}{\varepsilon^{4}}\varepsilon^{2}=\frac{1}{\varepsilon^{2}}.
O elemento de área da esfera é dS=\varepsilon^{2}\,d\Omega, onde d\Omega é o elemento de ângulo sólido (ou, explicitamente, dS=\varepsilon^{2}\sin\theta\,d\theta\,d\varphi). Portanto o fluxo pela esfera é
\iint_{S_\varepsilon}\boldsymbol{F}\cdot\mathbf{n}_\text{esfera}\,dS =\iint_{S_\varepsilon}\frac{1}{\varepsilon^{2}}\varepsilon^{2}\,d\Omega =\iint_{S_\varepsilon}d\Omega.
A integral do elemento de ângulo sólido sobre toda a esfera unitária é 4\pi. Assim obtemos
\iint_{S_\varepsilon}\boldsymbol{F}\cdot\mathbf{n}_\text{esfera}\,dS=4\pi.
Como esse valor é independente de \varepsilon, pela relação do passo anterior concluímos que, quando a origem está dentro de W,
\iint_{\partial W}\boldsymbol{F}\cdot\mathbf{n}\,dS=4\pi.
Esse é um resultado clássico: campo radial \mathbf{r}/r^3 tem fluxo 4\pi através de qualquer superfície fechada que envolve a origem.

Passo 7

Caso 3 — a origem \mathbf{0} está exatamente sobre \partial W.
Aqui a integral de superfície é imprópria porque o campo tem singularidade sobre a própria superfície de integração. Em geral:
  • Se a fronteira \partial W for suave na vizinhança da origem e dividir o espaço localmente em duas metades (como uma superfície suave passando pelo ponto), então a fração do ângulo sólido visto da origem correspondente à superfície fechada é 1/2, e a contribuição local costuma ser metade de 4\pi, ou seja 2\pi. Assim, em muitos casos suaves o valor limite é 2\pi.
  • Porém o resultado pode depender da geometria local da superfície em torno da origem (o ângulo sólido subtendido pela superfície fechada em relação ao ponto singular). Logo, sem mais informação sobre a forma de \partial W perto da origem, não se pode dar um valor único e bem definido para o fluxo; é um caso que exige análise mais refinada (definir limite adequado, valor principal, etc.).
Resumo prático: origem sobre a fronteira => integral é impropria; em caso suave típico, o valor-limite será 2\pi, mas é preciso especificar a geometria para afirmar isso sem ambiguidade.

Resposta

Se \mathbf{0}\notin W: 0
Se \mathbf{0}\in\mathrm{int}(W): 4\pi
Se \mathbf{0}\in\partial W: integral imprópria (sem valor único a menos que se especifique a geometria; para superfície suave típica o valor-limite é 2\pi).

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