Exercício 3 [25 pontos]: Use o teorema de Gauss para calcular a integral \iint_{S} \operatorname{rot} \boldsymbol{F} \cdot d \boldsymbol{S}, onde S é a união do cilindro x^{2}+y^{2}=1,0 \leq z \leq 1, com a porção do plano z=0, x^{2}+y^{2} \leq 1, orientada com vetor normal exterior, e
\boldsymbol{F}(x, y, z)=\left(z x+z^{2} y+x, z^{3} y x+y, z^{4} x^{2}\right) .
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de superfície
O que o exercício quer: o valor numérico da integral de superfície acima.
Passo 2
Estratégia (explicação didática e justificativa): a superfície S descrita não é fechada — falta a tampa superior no plano z=1. Uma ideia simples é completar S com a tampa superior T, definida por
T=\{(x,y,1)\mid x^{2}+y^{2}\le1\},
orientada com a normal exterior do sólido (na tampa superior a normal exterior é (0,0,1)). Então S\cup T é uma superfície fechada que envolve o cilindro sólido V=\{(x,y,z)\mid x^{2}+y^{2}\le1,\;0\le z\le1\}.
Aplicando o Teorema de Gauss (teorema da divergência) ao campo vetorial \operatorname{rot}\boldsymbol{F} sobre a superfície fechada S\cup T temos
Logo basta calcular a integral sobre a tampa T e mudar o sinal. (Resumo do porquê: \operatorname{div}(\operatorname{rot}\boldsymbol{F})=0 torna a integral sobre a superfície fechada nula.)
Passo 3
Vou calcular explicitamente \operatorname{rot}\boldsymbol{F}=\nabla\times\boldsymbol{F}. Usando a fórmula
(Observação pedagógica: a identidade \operatorname{div}(\operatorname{rot}\boldsymbol{F})=0 pode ser verificada levando a divergência desse vetor componente a componente e observando que as derivadas segundas mistas se cancelam.)
Passo 4
Agora avaliamos a integral sobre a tampa T. Na tampa T temos z=1 e a normal exterior é \boldsymbol{n}=(0,0,1). Então