Exercício 3 [25 pontos]: Use o teorema de Gauss para calcular a integral \iint_{S} \operatorname{rot} \boldsymbol{F} \cdot d \boldsymbol{S}, onde S é a união do cilindro x^{2}+y^{2}=1,0 \leq z \leq 1, com a porção do plano z=0, x^{2}+y^{2} \leq 1, orientada com vetor normal exterior, e
\boldsymbol{F}(x, y, z)=\left(z x+z^{2} y+x, z^{3} y x+y, z^{4} x^{2}\right) .

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de superfície
\iint_{S} \operatorname{rot}\boldsymbol{F}\cdot d\boldsymbol{S},
onde S é a união de duas partes:
  • o cilindro lateral x^{2}+y^{2}=1,\;0\le z\le1;
  • a porção do plano z=0 com x^{2}+y^{2}\le1.
A orientação indicada é “vetor normal exterior” (isto é, a normal apontando para fora do sólido cilíndrico). A função vetorial dada é
\boldsymbol{F}(x,y,z)=\bigl(zx+z^{2}y+x,\; z^{3}yx+y,\; z^{4}x^{2}\bigr).
O que o exercício quer: o valor numérico da integral de superfície acima.

Passo 2

Estratégia (explicação didática e justificativa): a superfície S descrita não é fechada — falta a tampa superior no plano z=1. Uma ideia simples é completar S com a tampa superior T, definida por
T=\{(x,y,1)\mid x^{2}+y^{2}\le1\},
orientada com a normal exterior do sólido (na tampa superior a normal exterior é (0,0,1)). Então S\cup T é uma superfície fechada que envolve o cilindro sólido V=\{(x,y,z)\mid x^{2}+y^{2}\le1,\;0\le z\le1\}.
Aplicando o Teorema de Gauss (teorema da divergência) ao campo vetorial \operatorname{rot}\boldsymbol{F} sobre a superfície fechada S\cup T temos
\iint_{S\cup T}\operatorname{rot}\boldsymbol{F}\cdot d\boldsymbol{S} =\iiint_{V}\operatorname{div}(\operatorname{rot}\boldsymbol{F})\,dV.
Mas existe uma identidade vetorial fundamental (que vale para campos suficientemente suavemente diferenciáveis):
\operatorname{div}(\operatorname{rot}\boldsymbol{F})=0.
Portanto a integral sobre a superfície fechada é zero. Assim obtemos a relação
\iint_{S}\operatorname{rot}\boldsymbol{F}\cdot d\boldsymbol{S} +\iint_{T}\operatorname{rot}\boldsymbol{F}\cdot d\boldsymbol{S}=0,
ou seja
\iint_{S}\operatorname{rot}\boldsymbol{F}\cdot d\boldsymbol{S} =-\iint_{T}\operatorname{rot}\boldsymbol{F}\cdot d\boldsymbol{S}.
Logo basta calcular a integral sobre a tampa T e mudar o sinal. (Resumo do porquê: \operatorname{div}(\operatorname{rot}\boldsymbol{F})=0 torna a integral sobre a superfície fechada nula.)

Passo 3

Vou calcular explicitamente \operatorname{rot}\boldsymbol{F}=\nabla\times\boldsymbol{F}. Usando a fórmula
\nabla\times\boldsymbol{F}=\Bigl(\frac{\partial F_{3}}{\partial y}-\frac{\partial F_{2}}{\partial z},\; \frac{\partial F_{1}}{\partial z}-\frac{\partial F_{3}}{\partial x},\; \frac{\partial F_{2}}{\partial x}-\frac{\partial F_{1}}{\partial y}\Bigr),
com F_{1}=zx+z^{2}y+x,\;F_{2}=z^{3}yx+y,\;F_{3}=z^{4}x^{2}.
Calcule as derivadas parciais passo a passo:
\frac{\partial F_{3}}{\partial y}=\frac{\partial (z^{4}x^{2})}{\partial y}=0, \qquad \frac{\partial F_{2}}{\partial z}=\frac{\partial (z^{3}yx+y)}{\partial z}=3z^{2}yx.
Logo a primeira componente é
(\nabla\times\boldsymbol{F})_{1}=0-3z^{2}xy=-3xy z^{2}.
Agora a segunda componente:
\frac{\partial F_{1}}{\partial z}=\frac{\partial (zx+z^{2}y+x)}{\partial z}=x+2zy,
\frac{\partial F_{3}}{\partial x}=\frac{\partial (z^{4}x^{2})}{\partial x}=2z^{4}x,
logo
(\nabla\times\boldsymbol{F})_{2}=x+2zy-2z^{4}x.
Terceira componente:
\frac{\partial F_{2}}{\partial x}=\frac{\partial (z^{3}yx+y)}{\partial x}=z^{3}y, \qquad \frac{\partial F_{1}}{\partial y}=\frac{\partial (zx+z^{2}y+x)}{\partial y}=z^{2},
portanto
(\nabla\times\boldsymbol{F})_{3}=z^{3}y-z^{2}.
Assim temos
\operatorname{rot}\boldsymbol{F}=\nabla\times\boldsymbol{F} =\bigl(-3xyz^{2},\; x+2zy-2z^{4}x,\; z^{3}y-z^{2}\bigr).
(Observação pedagógica: a identidade \operatorname{div}(\operatorname{rot}\boldsymbol{F})=0 pode ser verificada levando a divergência desse vetor componente a componente e observando que as derivadas segundas mistas se cancelam.)

Passo 4

Agora avaliamos a integral sobre a tampa T. Na tampa T temos z=1 e a normal exterior é \boldsymbol{n}=(0,0,1). Então
\operatorname{rot}\boldsymbol{F}\cdot\boldsymbol{n}=(\nabla\times\boldsymbol{F})_{3}\Big|_{z=1} =1^{3}y-1^{2}=y-1.
A integral de superfície sobre T reduz-se à integral dupla no disco unitário no plano z=1:
\iint_{T}\operatorname{rot}\boldsymbol{F}\cdot d\boldsymbol{S} =\iint_{x^{2}+y^{2}\le1}(y-1)\,dA.

Passo 5

Calcule as duas parcelas separadamente.
  1. A integral de y sobre o disco: por simetria do disco em relação ao eixo x, a função y é ímpar na variável y e o domínio é simétrico, logo
\iint_{x^{2}+y^{2}\le1} y\,dA = 0.
  1. A integral de 1 sobre o disco é a área do disco de raio 1:
\iint_{x^{2}+y^{2}\le1} 1\,dA = \pi\cdot 1^{2}=\pi.
Portanto
\iint_{T}\operatorname{rot}\boldsymbol{F}\cdot d\boldsymbol{S}=0-\pi=-\pi.

Passo 6

Voltando à relação obtida no passo 2,
\iint_{S}\operatorname{rot}\boldsymbol{F}\cdot d\boldsymbol{S} =-\iint_{T}\operatorname{rot}\boldsymbol{F}\cdot d\boldsymbol{S},
substituindo o valor encontrado para a integral sobre T obtemos
\iint_{S}\operatorname{rot}\boldsymbol{F}\cdot d\boldsymbol{S} = -(-\pi)=\pi.

Resposta

\pi

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