Acerca de ondulações, ondas e eletricidade, julgue o item que segue.
Considere que, em um espaço unidimensional, uma partícula pontual, com carga positiva q e massa m , seja submetida a um campo elétrico estático de intensidade E(x)=-A \cdot x, em que A é uma constante positiva. Nesse caso, se a posição inicial da partícula for diferente de zero, o seu período de oscilação será igual a 2 \pi \sqrt{\frac{m}{q \cdot A}}.
◯ Certo
◯ Errado

Passo 1

O enunciado fornece as seguintes informações e faz a seguinte afirmação a ser julgada:
  • Espaço unidimensional (posição ao longo de um eixo x).
  • Partícula pontual com carga positiva \,q e massa \,m.
  • Campo elétrico estático dependente da posição dado por \,E(x) = -A \cdot x, com \,A>0.
  • A posição inicial da partícula é diferente de zero (ou seja, a partícula está deslocada de x=0).
  • Afirmação a verificar: o período de oscilação é \,2\pi\sqrt{\dfrac{m}{q\cdot A}}.
O que é pedido: decidir se a afirmação é certa ou errada, justificando.

Passo 2

Calcular a força elétrica que atua na partícula. Lembrete rápido da física que vamos usar:
  • A força elétrica sobre uma partícula de carga \,q imersa em um campo elétrico \,E é \,F = q\,E.
    Aqui \,q é a carga (unidade coulomb) e \,E é o campo (unidade newton por coulomb ou volt por metro).
Aplicando isso ao campo dado, a força como função de x é
F(x)=q\,E(x)=q\bigl(-A\cdot x\bigr)=-qA\,x.
Interpretação: para \,q>0 e \,A>0 temos F(x) = -qA\,x, que aponta sempre para o ponto x=0 (ou seja, é uma força restauradora linear proporcional a x).

Passo 3

Escrever a equação do movimento (segunda lei de Newton). A segunda lei diz \,m\ddot{x}=F, onde \ddot{x} é a segunda derivada temporal da posição (aceleração). Substituindo F(x) obtemos
m\ddot{x} = -qA\,x.
Rearranjando,
\ddot{x} + \frac{qA}{m}\,x = 0.
Esta é exatamente a equação diferencial clássica do oscilador harmônico simples: \ddot{x} + \omega^{2} x = 0, onde \omega é a frequência angular.

Passo 4

Relacionar com o oscilador harmônico e encontrar a frequência angular. Comparando as duas equações, temos
\omega^{2} = \frac{qA}{m}.
Como \,q>0, \,A>0 e \,m>0, \omega^{2}>0 e \omega=\sqrt{\dfrac{qA}{m}}. A solução geral do movimento é uma combinação de cosseno e seno,
x(t)=X\cos\bigl(\omega t + \varphi\bigr),
onde X (amplitude) e \varphi (fase) são fixados pelas condições iniciais. Observação importante: o período não depende da amplitude (como em qualquer oscilador harmônico linear ideal).

Passo 5

Determinar o período da oscilação. A relação entre período T e frequência angular \omega é
T=\frac{2\pi}{\omega}.
Substituindo \omega=\sqrt{\dfrac{qA}{m}} obtemos
T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{qA}}.
Isso coincide exatamente com a expressão dada no enunciado.
Além disso, cheque rápido de unidades para ficar tranquilo: E tem unidades [\text{N}/\text{C}], então A tem unidades [\text{N}/(\text{C}\cdot\text{m})]. Assim qA tem unidades de [\text{N}/\text{m}] (mesma unidade de constante elástica), e \dfrac{qA}{m} tem unidade \text{s}^{-2}, consistente com \omega^{2}.

Passo 6

Conclusão e comentário didático final. A força é linear e restauradora ( F=-k_{\rm eff}x com k_{\rm eff}=qA), logo o movimento é um movimento harmônico simples com frequência \omega=\sqrt{qA/m}. O período calculado é exatamente \,2\pi\sqrt{m/(qA)}. Portanto a afirmação do enunciado está correta. Fica a dica motivadora: quando aparecer F proporcional a -x, acenda a luzinha — é oscilador harmônico!

Resposta

Certo

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