Exercício 4 [25 pontos]: Seja
uma regiāo fechada em
, cuja fronteira é denotada por
. Considere o campo vetorial dado por
Passo 1
O enunciado nos dá uma região fechada
com fronteira
e o campo vetorial
O que se espera calcular (isto é, a pergunta implícita do exercício) é o fluxo do campo
através da superfície
, isto é a integral de superfície
onde
é o vetor normal exterior a
.
Informações relevantes que recebemos:
- A expressão explícita de
. - A região
é fechada e tem fronteira . - Observação imediata:
tem singularidade em porque o denominador anula-se em . Esse fato vai dividir a análise em casos (origem dentro, fora ou sobre ).
Passo 2
Estratégia e justificativa do método (sem ainda executar cálculos): a ideia natural é usar o Teorema da Divergência (Teorema de Gauss), que relaciona o fluxo de um campo pela fronteira de uma região com a integral tripla da divergência sobre a região:
válido quando
é suficientemente suave dentro de
(em particular sem singularidades no interior). Portanto:
- Se
for suave em todo o interior de (isto é, se a origem não estiver em ), podemos aplicar o Teorema da Divergência diretamente. - Se a origem estiver no interior de
, a divergência não está definida no ponto singular; então usaremos o truque padrão: remover uma pequena bola em torno da origem, aplicar o teorema na região com buraco e avaliar o fluxo pela pequena esfera. Depois deixamos o raio da bola tender a zero. Esse procedimento mostra o efeito da singularidade pontual sobre o fluxo total.
Antes de aplicar, precisamos calcular
para
.
Passo 3
Cálculo da divergência para
. Defina
. O campo é radial e pode ser escrito como
onde
e
(pois
). Há uma fórmula útil para campos puramente radiais em
: se
então
Aplicando com
obtemos
logo, para
,
Comentário didático curto sobre a fórmula: essa expressão vem de escrever a divergência em coordenadas esféricas (ou fazer derivadas parciais diretas). Ela é especialmente prática para campos que só dependem de
e apontam radialmente.
Passo 4
Caso A — origem não está em
(ou seja,
). Neste caso
é suave em todo
e podemos aplicar o Teorema da Divergência diretamente:
Como
em
, a integral tripla vale zero e, portanto,
Intuição: fora da origem o campo não tem “fonte” nem “sumidouro”, então o fluxo total por uma superfície que encerra uma região sem a origem é nulo.
Passo 5
Caso B — origem está no interior de
(isto é,
). Agora a divergência não é definida em
, então procedemos assim:
- Seja
a bola fechada de raio centrada em , escolhida de modo que . - Considere a região
. Nessa região o campo é suave, então pelo Teorema da Divergência:
Mas
consiste em duas partes: a fronteira externa
(com normal externo a
) e a superfície da pequena esfera
. Note que a orientação da normal em
quando vista como parte de
é apontando para dentro da bola (isto é, oposta à normal
de
tomada como superfície da bola). Como
em
, a integral tripla à direita é zero, daí
onde
é a normal da superfície
vista como fronteira de
. Como
(a normal externa da pequena bola é
, mas para
ela é negativa), obtemos
Assim o fluxo pela fronteira grande
é igual ao fluxo pela pequena esfera
(com a normal radial apontando para fora da bola). Agora calculamos essa integral explícita e veremos que ela é independente de
.
Passo 6
Cálculo explícito do fluxo pela esfera
. Numa esfera de raio
tem-se
e
. Portanto, sobre
,
O produto escalar com a normal externa
é
Logo o fluxo pela esfera é
Note que o resultado é independente de
. Portanto, para qualquer
suficientemente pequeno,
Interpretação física/matemática: a singularidade pontual em
atua como uma “fonte” total de fluxo
(em unidades escolhidas); toda superfície que envolva a origem capta esse fluxo.
Passo 7
Caso C — origem sobre a fronteira
(isto é,
). Nesse caso a integral de superfície
é problemática porque o campo não é definido no ponto da superfície onde
. Para decidir se a integral existe e qual é o valor seria necessário analisar o comportamento local da superfície perto da origem (por exemplo interpretar integral no sentido de valor principal de Cauchy ou verificar se a singularidade é integrável na superfície). Em geral, sem informação extra sobre
perto da origem, não se pode afirmar um valor único: a integral pode não estar bem definida. Portanto, não é possível dar um valor sem mais hipóteses.
Resposta
Se
:
Se :
Se : não é possível determinar (a integral pode não estar definida).
Se
Se