Exercício 4 [25 pontos]: Seja W uma regiāo fechada em \mathbb{R}^{3}, cuja fronteira é denotada por \partial S. Considere o campo vetorial dado por
\boldsymbol{F}(x, y, z)=\frac{1}{\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{3 / 2}} \cdot(x, y, z) .

Passo 1

O enunciado nos dá uma região fechada W\subset\mathbb{R}^{3} com fronteira \partial W e o campo vetorial
\boldsymbol{F}(x,y,z)=\frac{1}{\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{3/2}}\,(x,y,z).
O que se espera calcular (isto é, a pergunta implícita do exercício) é o fluxo do campo \boldsymbol{F} através da superfície \partial W, isto é a integral de superfície
\iint_{\partial W}\boldsymbol{F}\cdot\boldsymbol{n}\,dS,
onde \boldsymbol{n} é o vetor normal exterior a \partial W.
Informações relevantes que recebemos:
  • A expressão explícita de \boldsymbol{F}.
  • A região W é fechada e tem fronteira \partial W.
  • Observação imediata: \boldsymbol{F} tem singularidade em (0,0,0) porque o denominador anula-se em r=0. Esse fato vai dividir a análise em casos (origem dentro, fora ou sobre \partial W).

Passo 2

Estratégia e justificativa do método (sem ainda executar cálculos): a ideia natural é usar o Teorema da Divergência (Teorema de Gauss), que relaciona o fluxo de um campo pela fronteira de uma região com a integral tripla da divergência sobre a região:
\iint_{\partial \Omega}\boldsymbol{F}\cdot\boldsymbol{n}\,dS=\iiint_{\Omega}\operatorname{div}\boldsymbol{F}\,dV,
válido quando \boldsymbol{F} é suficientemente suave dentro de \Omega (em particular sem singularidades no interior). Portanto:
  • Se \boldsymbol{F} for suave em todo o interior de W (isto é, se a origem não estiver em W), podemos aplicar o Teorema da Divergência diretamente.
  • Se a origem estiver no interior de W, a divergência não está definida no ponto singular; então usaremos o truque padrão: remover uma pequena bola em torno da origem, aplicar o teorema na região com buraco e avaliar o fluxo pela pequena esfera. Depois deixamos o raio da bola tender a zero. Esse procedimento mostra o efeito da singularidade pontual sobre o fluxo total.
Antes de aplicar, precisamos calcular \operatorname{div}\boldsymbol{F} para r>0.

Passo 3

Cálculo da divergência para r>0. Defina r=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}. O campo é radial e pode ser escrito como
\boldsymbol{F}(x,y,z)=\frac{1}{r^{3}}(x,y,z)=A(r)\,\hat{\boldsymbol{r}},
onde \hat{\boldsymbol{r}}=(x,y,z)/r e A(r)=1/r^{2} (pois \boldsymbol{F}=(1/r^{2})\hat{\boldsymbol{r}}). Há uma fórmula útil para campos puramente radiais em \mathbb{R}^{3}: se \boldsymbol{F}=A(r)\hat{\boldsymbol{r}} então
\operatorname{div}\boldsymbol{F}=\frac{1}{r^{2}}\frac{d}{dr}\bigl(r^{2}A(r)\bigr).
Aplicando com A(r)=1/r^{2} obtemos
r^{2}A(r)=r^{2}\cdot\frac{1}{r^{2}}=1\quad\Rightarrow\quad \frac{d}{dr}\bigl(r^{2}A(r)\bigr)=0,
logo, para r>0,
\operatorname{div}\boldsymbol{F}(x,y,z)=0.
Comentário didático curto sobre a fórmula: essa expressão vem de escrever a divergência em coordenadas esféricas (ou fazer derivadas parciais diretas). Ela é especialmente prática para campos que só dependem de r e apontam radialmente.

Passo 4

Caso A — origem não está em W (ou seja, 0\notin W). Neste caso \boldsymbol{F} é suave em todo W e podemos aplicar o Teorema da Divergência diretamente:
\iint_{\partial W}\boldsymbol{F}\cdot\boldsymbol{n}\,dS=\iiint_{W}\operatorname{div}\boldsymbol{F}\,dV.
Como \operatorname{div}\boldsymbol{F}=0 em W, a integral tripla vale zero e, portanto,
\iint_{\partial W}\boldsymbol{F}\cdot\boldsymbol{n}\,dS=0.
Intuição: fora da origem o campo não tem “fonte” nem “sumidouro”, então o fluxo total por uma superfície que encerra uma região sem a origem é nulo.

Passo 5

Caso B — origem está no interior de W (isto é, 0\in \operatorname{int}W). Agora a divergência não é definida em 0, então procedemos assim:
  • Seja B_{\varepsilon} a bola fechada de raio \varepsilon>0 centrada em 0, escolhida de modo que B_{\varepsilon}\subset W.
  • Considere a região \Omega_{\varepsilon}=W\setminus B_{\varepsilon}. Nessa região o campo é suave, então pelo Teorema da Divergência:
\iint_{\partial\Omega_{\varepsilon}}\boldsymbol{F}\cdot\boldsymbol{n}\,dS=\iiint_{\Omega_{\varepsilon}}\operatorname{div}\boldsymbol{F}\,dV.
Mas \partial\Omega_{\varepsilon} consiste em duas partes: a fronteira externa \partial W (com normal externo a W) e a superfície da pequena esfera S_{\varepsilon}=\partial B_{\varepsilon}. Note que a orientação da normal em S_{\varepsilon} quando vista como parte de \partial\Omega_{\varepsilon} é apontando para dentro da bola (isto é, oposta à normal \hat{\boldsymbol{r}} de S_{\varepsilon} tomada como superfície da bola). Como \operatorname{div}\boldsymbol{F}=0 em \Omega_{\varepsilon}, a integral tripla à direita é zero, daí
0=\iint_{\partial\Omega_{\varepsilon}}\boldsymbol{F}\cdot\boldsymbol{n}\,dS =\iint_{\partial W}\boldsymbol{F}\cdot\boldsymbol{n}\,dS+\iint_{S_{\varepsilon}}\boldsymbol{F}\cdot\boldsymbol{n}_{\Omega}\,dS,
onde \boldsymbol{n}_{\Omega} é a normal da superfície S_{\varepsilon} vista como fronteira de \Omega_{\varepsilon}. Como \boldsymbol{n}_{\Omega}=-\hat{\boldsymbol{r}} (a normal externa da pequena bola é \hat{\boldsymbol{r}}, mas para \Omega_{\varepsilon} ela é negativa), obtemos
\iint_{\partial W}\boldsymbol{F}\cdot\boldsymbol{n}\,dS=\iint_{S_{\varepsilon}}\boldsymbol{F}\cdot\hat{\boldsymbol{r}}\,dS.
Assim o fluxo pela fronteira grande \partial W é igual ao fluxo pela pequena esfera S_{\varepsilon} (com a normal radial apontando para fora da bola). Agora calculamos essa integral explícita e veremos que ela é independente de \varepsilon.

Passo 6

Cálculo explícito do fluxo pela esfera S_{\varepsilon}. Numa esfera de raio \varepsilon tem-se r=\varepsilon e \hat{\boldsymbol{r}}=(x,y,z)/\varepsilon. Portanto, sobre S_{\varepsilon},
\boldsymbol{F}=\frac{1}{\varepsilon^{3}}(x,y,z).
O produto escalar com a normal externa \hat{\boldsymbol{r}} é
\boldsymbol{F}\cdot\hat{\boldsymbol{r}} =\frac{1}{\varepsilon^{3}}(x,y,z)\cdot\frac{(x,y,z)}{\varepsilon} =\frac{1}{\varepsilon^{4}}(x^{2}+y^{2}+z^{2}) =\frac{\varepsilon^{2}}{\varepsilon^{4}}=\frac{1}{\varepsilon^{2}}.
Logo o fluxo pela esfera é
\iint_{S_{\varepsilon}}\boldsymbol{F}\cdot\hat{\boldsymbol{r}}\,dS =\frac{1}{\varepsilon^{2}}\iint_{S_{\varepsilon}} dS =\frac{1}{\varepsilon^{2}}\cdot 4\pi\varepsilon^{2}=4\pi.
Note que o resultado é independente de \varepsilon. Portanto, para qualquer \varepsilon suficientemente pequeno,
\iint_{\partial W}\boldsymbol{F}\cdot\boldsymbol{n}\,dS=4\pi.
Interpretação física/matemática: a singularidade pontual em 0 atua como uma “fonte” total de fluxo 4\pi (em unidades escolhidas); toda superfície que envolva a origem capta esse fluxo.

Passo 7

Caso C — origem sobre a fronteira \partial W (isto é, 0\in\partial W). Nesse caso a integral de superfície \iint_{\partial W}\boldsymbol{F}\cdot\boldsymbol{n}\,dS é problemática porque o campo não é definido no ponto da superfície onde r=0. Para decidir se a integral existe e qual é o valor seria necessário analisar o comportamento local da superfície perto da origem (por exemplo interpretar integral no sentido de valor principal de Cauchy ou verificar se a singularidade é integrável na superfície). Em geral, sem informação extra sobre \partial W perto da origem, não se pode afirmar um valor único: a integral pode não estar bem definida. Portanto, não é possível dar um valor sem mais hipóteses.

Resposta

Se 0\notin W: \displaystyle 0
Se 0\in\operatorname{int}W: \displaystyle 4\pi
Se 0\in\partial W: não é possível determinar (a integral pode não estar definida).

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