Sabendo-se que
\lim _{t \rightarrow 0} \frac{t}{\sqrt{1+A t}-1}=2 \pi A
e que A>0, determinar o valor de A.

Passo 1

O enunciado fornece a igualdade
\lim_{t\to 0}\frac{t}{\sqrt{1+A t}-1}=2\pi A
e diz que A>0. O que se pede é determinar o valor de A que torna essa igualdade verdadeira.
Informações relevantes:
  • A expressão cujo limite deve ser calculado é \dfrac{t}{\sqrt{1+A t}-1}.
  • O parâmetro desconhecido A é positivo: A>0.
  • O valor do limite é dado como 2\pi A.
  • Objetivo: encontrar A tal que o limite da expressão seja exatamente 2\pi A.

Passo 2

Vamos simplificar a expressão do limite de forma que possamos calcular o valor quando t\to 0. Uma técnica básica e exata para eliminar a indeterminação na forma \dfrac{0}{0} envolvendo raízes é multiplicar numerador e denominador pelo conjugado do denominador. Assim:
\frac{t}{\sqrt{1+At}-1}\cdot\frac{\sqrt{1+At}+1}{\sqrt{1+At}+1} = \frac{t\big(\sqrt{1+At}+1\big)}{(\sqrt{1+At}-1)(\sqrt{1+At}+1)}.
No denominador aplica-se a diferença de quadrados.

Passo 3

Calcule o denominador usando diferença de quadrados:
(\sqrt{1+At}-1)(\sqrt{1+At}+1)= ( \sqrt{1+At} )^2-1^2 = 1+At-1 = At.
Substituindo no quociente obtemos uma forma muito mais simples:
\frac{t\big(\sqrt{1+At}+1\big)}{At} = \frac{\sqrt{1+At}+1}{A}.

Passo 4

Agora que simplificamos, podemos tomar o limite quando t\to 0. A função \sqrt{1+At} é contínua em t=0, logo
\lim_{t\to 0}\frac{t}{\sqrt{1+At}-1} = \lim_{t\to 0}\frac{\sqrt{1+At}+1}{A} = \frac{\sqrt{1+0}+1}{A} = \frac{1+1}{A} = \frac{2}{A}.

Passo 5

O enunciado afirma que esse limite vale 2\pi A. Igualando o resultado que encontramos:
\frac{2}{A}=2\pi A.
Dividindo ambos os lados por 2
\frac{1}{A}=\pi A.
Multiplicando ambos os lados por A (que é positivo, portanto não anula a multiplicação):
1=\pi A^2.
Isolando A:
A^2=\frac{1}{\pi}\quad\Rightarrow\quad A=\sqrt{\frac{1}{\pi}}=\frac{1}{\sqrt{\pi}},
e escolhemos o sinal positivo porque o enunciado diz A>0.

Resposta

\dfrac{1}{\sqrt{\pi}}

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