Sabendo-se que
e que
, determinar o valor de
.
Passo 1
O enunciado fornece a igualdade
e diz que
. O que se pede é determinar o valor de
que torna essa igualdade verdadeira.
Informações relevantes:
- A expressão cujo limite deve ser calculado é
. - O parâmetro desconhecido
é positivo: . - O valor do limite é dado como
. - Objetivo: encontrar
tal que o limite da expressão seja exatamente .
Passo 2
Vamos simplificar a expressão do limite de forma que possamos calcular o valor quando
. Uma técnica básica e exata para eliminar a indeterminação na forma
envolvendo raízes é multiplicar numerador e denominador pelo conjugado do denominador. Assim:
No denominador aplica-se a diferença de quadrados.
Passo 3
Calcule o denominador usando diferença de quadrados:
Substituindo no quociente obtemos uma forma muito mais simples:
Passo 4
Agora que simplificamos, podemos tomar o limite quando
. A função
é contínua em
, logo
Passo 5
O enunciado afirma que esse limite vale
. Igualando o resultado que encontramos:
Dividindo ambos os lados por
dá
Multiplicando ambos os lados por
(que é positivo, portanto não anula a multiplicação):
Isolando
:
e escolhemos o sinal positivo porque o enunciado diz
.