Calcule o trabalho realizado pelo campo F(x, y, z)=\frac{z}{x} i+j+\ln x k quando um objeto é movido ao longo da circunferência (x-4)^{2}+y^{2}=1 e z=4 orientada no sentido anti-horário.
Passo 1
O enunciado fornece o campo vetorial \mathbf{F}(x,y,z)=\dfrac{z}{x}\,\mathbf{i}+\mathbf{j}+\ln x\,\mathbf{k} e a curva é a circunferência dada por (x-4)^{2}+y^{2}=1 com z=4, orientada no sentido anti-horário. O que se pede é o trabalho realizado pelo campo ao longo dessa curva, isto é, o integral de linha
\oint_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
A curva é um círculo de centro (4,0,4) e raio 1 contido no plano z=4.
A orientação é anti-horária (visto do eixo positivo z).
O campo tem componente em k\ln x, mas como z é constante ao longo da curva, dz=0 pode anular contribuições dessa componente no produto escalar.
Passo 2
Parametrização do círculo compatível com a orientação anti-horária (visto do eixo +z\)). Tomando o parâmetro \(t\) com \(0\le t\le 2\pi\),
\[\begin{cases} x(t)=4+\cos t,\\[4pt] y(t)=\sin t,\\[4pt] z(t)=4. \end{cases}
Aqui t\] cresce e descreve o círculo no sentido anti-horário, porque para \(t=0 temos o ponto (5,0,4) e aumentando t a trajetória gira no sentido anti-horário. Derivando em relação a t obtemos o vetor velocidade
\mathbf{r}'(t)=\bigl(-\sin t,\;\cos t,\;0\bigr).]
Passo 3
Avaliar \mathbf{F} ao longo da parametrização. Substituindo z=4 e x=4+\cos t,
Como \cos(0)=\cos(2\pi)=1, temos 4+\cos 0 = 4+\cos(2\pi)=5, logo a diferença dos logaritmos é zero. Portanto
\int_{0}^{2\pi}\dfrac{4\sin t}{4+\cos t}\,dt = 0.
Somando as contribuições, o integral total é 0-0=0.
Passo 5
Interpretação rápida: o integrando foi a soma de uma função ímpar em torno do período (a contribuição de \cos t é zero) e de uma função que possui primitiva 4\ln(4+\cos t) ao longo do intervalo 0 a 2\pi, que retorna ao mesmo valor inicial, portanto sua integral sobre um período é zero. Assim o trabalho acumulado sobre a volta completa é zero — nada misterioso, apenas a cancelação ao longo do ciclo.