Calcule o trabalho realizado pelo campo F(x, y, z)=\frac{z}{x} i+j+\ln x k quando um objeto é movido ao longo da circunferência (x-4)^{2}+y^{2}=1 e z=4 orientada no sentido anti-horário.

Passo 1

O enunciado fornece o campo vetorial \mathbf{F}(x,y,z)=\dfrac{z}{x}\,\mathbf{i}+\mathbf{j}+\ln x\,\mathbf{k} e a curva é a circunferência dada por (x-4)^{2}+y^{2}=1 com z=4, orientada no sentido anti-horário. O que se pede é o trabalho realizado pelo campo ao longo dessa curva, isto é, o integral de linha
\oint_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A curva é um círculo de centro (4,0,4) e raio 1 contido no plano z=4.
  • A orientação é anti-horária (visto do eixo positivo z).
  • O campo tem componente em k \ln x, mas como z é constante ao longo da curva, dz=0 pode anular contribuições dessa componente no produto escalar.

Passo 2

Parametrização do círculo compatível com a orientação anti-horária (visto do eixo +z\)). Tomando o parâmetro \(t\) com \(0\le t\le 2\pi\), \[\begin{cases} x(t)=4+\cos t,\\[4pt] y(t)=\sin t,\\[4pt] z(t)=4. \end{cases}
Aqui t\] cresce e descreve o círculo no sentido anti-horário, porque para \(t=0 temos o ponto (5,0,4) e aumentando t a trajetória gira no sentido anti-horário. Derivando em relação a t obtemos o vetor velocidade
\mathbf{r}'(t)=\bigl(-\sin t,\;\cos t,\;0\bigr).]

Passo 3

Avaliar \mathbf{F} ao longo da parametrização. Substituindo z=4 e x=4+\cos t,
\mathbf{F}(\mathbf{r}(t))=\left(\dfrac{4}{4+\cos t},\;1,\;\ln(4+\cos t)\right).
O produto escalar \mathbf{F}(\mathbf{r}(t))\cdot\mathbf{r}'(t) é
\mathbf{F}(\mathbf{r}(t))\cdot\mathbf{r}'(t) =\dfrac{4}{4+\cos t}\,(-\sin t)+1\cdot\cos t+ \ln(4+\cos t)\cdot 0.
Como dz/dt=0, a componente k não contribui. Simplificando,
\mathbf{F}(\mathbf{r}(t))\cdot\mathbf{r}'(t) = \cos t - \dfrac{4\sin t}{4+\cos t}.

Passo 4

Agora calculamos o integral de t=0 até t=2\pi:
\oint_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} =\int_{0}^{2\pi}\left(\cos t - \dfrac{4\sin t}{4+\cos t}\right)dt.
Separe em duas integrais:
\int_{0}^{2\pi}\cos t\,dt \;-\; \int_{0}^{2\pi}\dfrac{4\sin t}{4+\cos t}\,dt.
A primeira integral é imediata:
\int_{0}^{2\pi}\cos t\,dt = \sin t\Big|_{0}^{2\pi} = 0.
Para a segunda integral, faça a substituição \displaystyle u=4+\cos t. Então \,du = -\sin t\,dt, ou seja -\sin t\,dt = du. Assim
\int_{0}^{2\pi}\dfrac{4\sin t}{4+\cos t}\,dt = -4\int_{0}^{2\pi}\dfrac{du}{u} = -4\Bigl[\ln|u|\Bigr]_{t=0}^{t=2\pi} = -4\bigl(\ln(4+\cos(2\pi))-\ln(4+\cos 0)\bigr).
Como \cos(0)=\cos(2\pi)=1, temos 4+\cos 0 = 4+\cos(2\pi)=5, logo a diferença dos logaritmos é zero. Portanto
\int_{0}^{2\pi}\dfrac{4\sin t}{4+\cos t}\,dt = 0.
Somando as contribuições, o integral total é 0-0=0.

Passo 5

Interpretação rápida: o integrando foi a soma de uma função ímpar em torno do período (a contribuição de \cos t é zero) e de uma função que possui primitiva 4\ln(4+\cos t) ao longo do intervalo 0 a 2\pi, que retorna ao mesmo valor inicial, portanto sua integral sobre um período é zero. Assim o trabalho acumulado sobre a volta completa é zero — nada misterioso, apenas a cancelação ao longo do ciclo.

Resposta

0

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