Exercício 25. Suponha que X \mid \theta \sim \operatorname{Exp}(\theta) e que a priori de \theta seja não informativa.
(a) Determine a distribuição preditiva de X, e mostre que p(x) e p(x \mid \theta) são monotonicamente decrescentes em x;

Passo 1

O enunciado nos diz que
X\mid\theta\sim\mathrm{Exp}(\theta), ou seja
p(x\mid\theta)=\theta\,e^{-\theta x},\quad x\ge0,
e que a priori de \theta é não informativa. Precisamos (a) obter a distribuição preditiva
p(x)=\int_{0}^{\infty}p(x\mid\theta)\,\pi(\theta)\,d\theta
e (b) mostrar que tanto p(x) quanto p(x\mid\theta) são monotonicamente decrescentes em x.

Passo 2

Para especificar a priori não informativa usamos a priori de Jeffreys. A informação de Fisher para uma Exp( \theta) é
I(\theta)=\mathbb{E}\Bigl[\Bigl(\frac{\partial}{\partial\theta}\ln p(X\mid\theta)\Bigr)^2\Bigr] =\frac{1}{\theta^2},
logo a priori de Jeffreys é
\pi(\theta)\propto\sqrt{I(\theta)}=\frac{1}{\theta},\quad \theta>0.

Passo 3

Calculamos a preditiva
p(x)=\int_{0}^{\infty}\bigl(\theta\,e^{-\theta x}\bigr)\,\frac{1}{\theta}\,d\theta =\int_{0}^{\infty}e^{-\theta x}\,d\theta.
Fazendo a mudança de variável u=\theta x, d\theta=du/x, obtemos
p(x)=\int_{0}^{\infty}e^{-u}\,\frac{du}{x}=\frac{1}{x}\int_{0}^{\infty}e^{-u}\,du=\frac{1}{x},
para x>0.

Passo 4

Verificamos a monotonicidade em x:
Para p(x) temos
\frac{d}{dx}p(x)=\frac{d}{dx}\Bigl(\frac{1}{x}\Bigr)=-\frac{1}{x^2}<0\quad(\forall x>0),
portanto p(x) é decrescente em x.
Para p(x\mid\theta)=\theta e^{-\theta x} temos
\frac{\partial}{\partial x}p(x\mid\theta) =\theta\bigl(-\theta e^{-\theta x}\bigr)=-\theta^2\,e^{-\theta x}<0\quad(\forall x,\theta>0),
logo p(x\mid\theta) também é decrescente em x.

Resposta

A distribuição preditiva é
p(x)=\frac{1}{x},\quad x>0,
e tanto p(x)=1/x quanto p(x\mid\theta)=\theta e^{-\theta x} são monotonicamente decrescentes em x.

Exercícios relacionados