Exercício 25
Transmissão de ondas (relações de Fresnell). Considere uma onda harmônica (ou pulso) que se propaga na extremidade de uma corda de densidade linear
e tensão
, que está ligada a uma outra corda de densidade linear
, sob a mesma tensão
.
(b) Aplique a condição de continuidade do deslocamento em
e obtenha a relação:
Transmissão de ondas (relações de Fresnell). Considere uma onda harmônica (ou pulso) que se propaga na extremidade de uma corda de densidade linear
Passo 1
O que o enunciado pede e quais informações temos.
- O enunciado pede para aplicar a condição de continuidade do deslocamento na posição
(a junção entre as duas cordas) e obter a relação entre as amplitudes das ondas incidente, refletida e transmitida. - Informações relevantes (visíveis na figura e no enunciado):
- Há uma corda à esquerda com densidade linear
e outra à direita com densidade linear . - Ambas as cordas estão sob a mesma tensão
. - Chega uma onda (ou pulso harmônico) vindo da esquerda: amplitude da onda incidente é
. - Parte da onda é refletida para a esquerda com amplitude
. - Parte é transmitida para a direita com amplitude
.
- Há uma corda à esquerda com densidade linear
- A pergunta aqui é apenas aplicar a condição de continuidade do deslocamento em
e obter a relação pedida entre , e . Não precisamos ainda usar a condição sobre as derivadas (força/tensão), só a continuidade do deslocamento.
Passo 2
Escolher uma representação conveniente para ondas harmônicas e explicar as variáveis.
- Para trabalhar com ondas harmônicas é muito prático usar a representação complexa (entender que, no final, tomamos a parte real). Vou usar a convenção de fase
para ondas que se propagam para a direita e para ondas que se propagam para a esquerda. Explico o que significa cada símbolo: -
é a frequência angular da onda (medida em ). -
é o número de onda ( ), que mede quantas oscilações por unidade de comprimento; é a velocidade de propagação. - Para cada corda, a velocidade depende de
e da densidade linear: . Assim para a corda 1 (esquerda) temos e ; para a corda 2 (direita) temos e .
-
- A amplitude complexa
contém informação sobre magnitude e fase da onda. Aqui indicamos simplesmente as amplitudes , e .
Passo 3
Escrever as expressões das três ondas (incidente, refletida, transmitida) com a convenção escolhida e justificar as escolhas de sinais.
- Onda incidente (vem da esquerda, se propaga para a direita, pertence à região
): Esta forma dá um avanço de fase com compatível com propagação para a direita. - Onda refletida (fica na mesma região
, propaga-se para a esquerda): O sinal faz com que a fase aumente com , característico de uma onda movendo-se na direção negativa de . - Onda transmitida (vai para a direita, região
, possivelmente com número de onda diferente ): Novamente, indica propagação para a direita na segunda corda. - Observação rápida: todas as três expressões têm o mesmo fator temporal
multiplicando a parte espacial avaliada em . Isso ficará útil ao aplicar a condição em .
Passo 4
Explicar fisicamente a condição de continuidade do deslocamento em
.
- A condição de continuidade do deslocamento diz que a posição transversal da corda imediatamente à esquerda de
deve ser igual à posição transversal imediatamente à direita de para todo instante . Em palavras: a corda não pode saltar; o deslocamento é uma quantidade contínua no ponto de junção. - Em termos das funções que escrevemos, a continuidade em
implica que, para todo , No lado esquerdo o deslocamento é a superposição da onda incidente com a refletida; no lado direito é apenas a transmitida.
Passo 5
Avaliar as expressões no ponto
e aplicar a igualdade.
- Avaliando cada expressão em
: - A condição de continuidade (lado esquerdo = lado direito) pode ser escrita como
isto é, o deslocamento causado pela onda incidente, no instante considerado, é igual à soma dos deslocamentos das ondas refletida e transmitida naquele ponto (essa é a forma de escrita adotada aqui para relacionar as amplitudes). - Substituindo os valores:
Passo 6
Fatorar o termo comum em tempo, cancelar e obter a relação entre amplitudes.
- Fatorando
do lado direito e esquerdo: - Como
é diferente de zero para todo , podemos dividir ambos os lados por esse fator e obter a relação algebraica entre as amplitudes: