Exercício 25
Transmissão de ondas (relações de Fresnell). Considere uma onda harmônica (ou pulso) que se propaga na extremidade de uma corda de densidade linear \mu_{1} e tensão T, que está ligada a uma outra corda de densidade linear \mu_{2}, sob a mesma tensão T.
(b) Aplique a condição de continuidade do deslocamento em x=0 e obtenha a relação:
A_{i}=A_{r}+A_{t}

Passo 1

O que o enunciado pede e quais informações temos.
  • O enunciado pede para aplicar a condição de continuidade do deslocamento na posição x=0 (a junção entre as duas cordas) e obter a relação entre as amplitudes das ondas incidente, refletida e transmitida.
  • Informações relevantes (visíveis na figura e no enunciado):
    • Há uma corda à esquerda com densidade linear \mu_{1} e outra à direita com densidade linear \mu_{2}.
    • Ambas as cordas estão sob a mesma tensão T.
    • Chega uma onda (ou pulso harmônico) vindo da esquerda: amplitude da onda incidente é A_{i}.
    • Parte da onda é refletida para a esquerda com amplitude A_{r}.
    • Parte é transmitida para a direita com amplitude A_{t}.
  • A pergunta aqui é apenas aplicar a condição de continuidade do deslocamento em x=0 e obter a relação pedida entre A_{i}, A_{r} e A_{t}. Não precisamos ainda usar a condição sobre as derivadas (força/tensão), só a continuidade do deslocamento.

Passo 2

Escolher uma representação conveniente para ondas harmônicas e explicar as variáveis.
  • Para trabalhar com ondas harmônicas é muito prático usar a representação complexa (entender que, no final, tomamos a parte real). Vou usar a convenção de fase e^{i(\omega t - kx)}para ondas que se propagam para a direita e e^{i(\omega t + kx)}para ondas que se propagam para a esquerda. Explico o que significa cada símbolo:
    • \omega é a frequência angular da onda (medida em \mathrm{rad/s}).
    • k é o número de onda ( k=\dfrac{\omega}{v}), que mede quantas oscilações por unidade de comprimento; v é a velocidade de propagação.
    • Para cada corda, a velocidade depende de T e da densidade linear: v=\sqrt{T/\mu}. Assim para a corda 1 (esquerda) temos v_{1}=\sqrt{T/\mu_{1}} e k_{1}=\omega/v_{1}; para a corda 2 (direita) temos v_{2}=\sqrt{T/\mu_{2}} e k_{2}=\omega/v_{2}.
  • A amplitude complexa A contém informação sobre magnitude e fase da onda. Aqui indicamos simplesmente as amplitudes A_{i}, A_{r} e A_{t}.

Passo 3

Escrever as expressões das três ondas (incidente, refletida, transmitida) com a convenção escolhida e justificar as escolhas de sinais.
  • Onda incidente (vem da esquerda, se propaga para a direita, pertence à região x<0): y_{i}(x,t)=A_{i}\,e^{i(\omega t - k_{1}x)}.Esta forma dá um avanço de fase com x compatível com propagação para a direita.
  • Onda refletida (fica na mesma região x<0, propaga-se para a esquerda): y_{r}(x,t)=A_{r}\,e^{i(\omega t + k_{1}x)}.O sinal +k_{1}x faz com que a fase aumente com x, característico de uma onda movendo-se na direção negativa de x.
  • Onda transmitida (vai para a direita, região x>0, possivelmente com número de onda diferente k_{2}): y_{t}(x,t)=A_{t}\,e^{i(\omega t - k_{2}x)}.Novamente, -k_{2}x indica propagação para a direita na segunda corda.
  • Observação rápida: todas as três expressões têm o mesmo fator temporal e^{i\omega t} multiplicando a parte espacial avaliada em x. Isso ficará útil ao aplicar a condição em x=0.

Passo 4

Explicar fisicamente a condição de continuidade do deslocamento em x=0.
  • A condição de continuidade do deslocamento diz que a posição transversal da corda imediatamente à esquerda de x=0 deve ser igual à posição transversal imediatamente à direita de x=0 para todo instante t. Em palavras: a corda não pode saltar; o deslocamento é uma quantidade contínua no ponto de junção.
  • Em termos das funções que escrevemos, a continuidade em x=0 implica que, para todo t, \text{(deslocamento à esquerda em }x=0\text{)}=\text{(deslocamento à direita em }x=0\text{)}.ààNo lado esquerdo o deslocamento é a superposição da onda incidente com a refletida; no lado direito é apenas a transmitida.

Passo 5

Avaliar as expressões no ponto x=0 e aplicar a igualdade.
  • Avaliando cada expressão em x=0: y_{i}(0,t)=A_{i}\,e^{i\omega t}, \qquad y_{r}(0,t)=A_{r}\,e^{i\omega t}, \qquad y_{t}(0,t)=A_{t}\,e^{i\omega t}.
  • A condição de continuidade (lado esquerdo = lado direito) pode ser escrita como y_{i}(0,t)=y_{r}(0,t)+y_{t}(0,t),isto é, o deslocamento causado pela onda incidente, no instante considerado, é igual à soma dos deslocamentos das ondas refletida e transmitida naquele ponto (essa é a forma de escrita adotada aqui para relacionar as amplitudes).
  • Substituindo os valores: A_{i}\,e^{i\omega t}=A_{r}\,e^{i\omega t}+A_{t}\,e^{i\omega t}.

Passo 6

Fatorar o termo comum em tempo, cancelar e obter a relação entre amplitudes.
  • Fatorando e^{i\omega t} do lado direito e esquerdo: \bigl(A_{i}\bigr)e^{i\omega t}=\bigl(A_{r}+A_{t}\bigr)e^{i\omega t}.
  • Como e^{i\omega t} é diferente de zero para todo t, podemos dividir ambos os lados por esse fator e obter a relação algebraica entre as amplitudes: A_{i}=A_{r}+A_{t}.

Resposta

A_{i}=A_{r}+A_{t}

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