Exercício 25
Transmissão de ondas (relações de Fresnell). Considere uma onda harmônica (ou pulso) que se propaga na extremidade de uma corda de densidade linear \mu_{1} e tensão T, que está ligada a uma outra corda de densidade linear \mu_{2}, sob a mesma tensão T.
(a) Escreva as equações para as ondas refletida e transmitida, considerando a incidente dada por y_{\mathrm{i}}=A_{\mathrm{i}} \cos \left(k_{1} x-\omega t\right).

Passo 1

O enunciado dá uma corda à esquerda com densidade linear \mu_{1} e outra à direita com densidade linear \mu_{2}; as duas cordas estão sob a mesma tensão T. A onda incidente é
y_{\mathrm{i}} = A_{\mathrm{i}} \cos\!\left(k_{1} x - \omega t\right).
O que se pede: escrever as equações da onda refletida e da onda transmitida (ou seja, determinar as formas e os amplitude-relacionamentos A_{\mathrm{r}} e A_{\mathrm{t}} em função de A_{\mathrm{i}}, k_{1}, k_{2}, \mu_{1}, \mu_{2}, T, \omega etc.).
Da figura (peguei estas informações da imagem): há uma corda à esquerda (densidade \mu_{1}) e uma corda ligada à direita (densidade \mu_{2}), a tensão é a mesma T, o pulso incidente vem pela corda da esquerda em direção à junção e partes dele são refletidas e transmitidas.

Passo 2

Forma geral das ondas (intuição física e escolha das formas matemáticas).
  • A onda incidente viaja para a direita, já dada por \,y_{\mathrm{i}} = A_{\mathrm{i}} \cos\!\left(k_{1} x - \omega t\right).
  • A onda refletida viaja para a esquerda (sentido oposto); a forma geral para uma onda que viaja para a esquerda com o mesmo \omega e mesmo k_{1} é
y_{\mathrm{r}} = A_{\mathrm{r}} \cos\!\left(k_{1} x + \omega t\right).
Explicação rápida: trocar o sinal do termo em x na fase (ou, equivalentemente, trocar o sinal de k_{1}) inverte o sentido de propagação.
  • A onda transmitida na corda da direita viaja para a direita, mas com velocidade e número de onda diferentes; portanto a forma é
y_{\mathrm{t}} = A_{\mathrm{t}} \cos\!\left(k_{2} x - \omega t\right),
onde k_{2} está relacionado a \omega e à velocidade v_{2} da segunda corda por \,k_{2}=\dfrac{\omega}{v_{2}}\,.

Passo 3

Relações entre velocidades, números de onda e parâmetros das cordas.
  • Velocidade de onda em cada corda: \,v=\sqrt{\dfrac{T}{\mu}}\,. Assim
v_{1}=\sqrt{\dfrac{T}{\mu_{1}}},\qquad v_{2}=\sqrt{\dfrac{T}{\mu_{2}}}.
  • Números de onda:
k_{1}=\dfrac{\omega}{v_{1}}=\omega\sqrt{\dfrac{\mu_{1}}{T}},\qquad k_{2}=\dfrac{\omega}{v_{2}}=\omega\sqrt{\dfrac{\mu_{2}}{T}}.
Vou usar essas relações mais adiante para expressar os coeficientes em termos de \mu_{1} e \mu_{2}.

Passo 4

Condições de contorno na junção x=0 (a coisa crucial).
Explicação física e matemática:
  • Continuidade do deslocamento transversal (a corda não se “salta” na junção): para todo t
y_{\mathrm{i}}(0,t) + y_{\mathrm{r}}(0,t) = y_{\mathrm{t}}(0,t).
  • Continuidade da força transversal (tensão dá força proporcional à inclinação \partial y/\partial x); como a tensão é a mesma T dos dois lados, basta igualar as derivadas espaciais:
\left.\frac{\partial}{\partial x}\big(y_{\mathrm{i}}+y_{\mathrm{r}}\big)\right|_{x=0} = \left.\frac{\partial y_{\mathrm{t}}}{\partial x}\right|_{x=0}.
Essas duas equações permitem resolver A_{\mathrm{r}} e A_{\mathrm{t}} em função de A_{\mathrm{i}}.

Passo 5

Resolver as condições de contorno com representação complexa (fórmula que simplifica álgebra).
É conveniente usar a representação em fasores (exponenciais complexas) e depois tomar a parte real; escrevo as amplitudes normalizadas:
\tilde y_{\mathrm{i}}=A_{\mathrm{i}} e^{i(k_{1} x-\omega t)},\qquad \tilde y_{\mathrm{r}}=A_{\mathrm{r}} e^{i(-k_{1} x-\omega t)},\qquad \tilde y_{\mathrm{t}}=A_{\mathrm{t}} e^{i(k_{2} x-\omega t)}.
As condições em x=0 (retirando o fator comum e^{-i\omega t}) tornam-se lineares:
A_{\mathrm{i}} + A_{\mathrm{r}} = A_{\mathrm{t}},
i k_{1} A_{\mathrm{i}} - i k_{1} A_{\mathrm{r}} = i k_{2} A_{\mathrm{t}}.
Simplificando os i's:
A_{\mathrm{i}} + A_{\mathrm{r}} = A_{\mathrm{t}},\qquad k_{1}\big(A_{\mathrm{i}} - A_{\mathrm{r}}\big) = k_{2} A_{\mathrm{t}}.

Passo 6

Resolver o sistema para os coeficientes relativos r=\dfrac{A_{\mathrm{r}}}{A_{\mathrm{i}}} e t=\dfrac{A_{\mathrm{t}}}{A_{\mathrm{i}}}.
  • Da primeira equação: t = 1 + r.
  • Substituindo na segunda:
k_{1}(1 - r) = k_{2}(1 + r).
Isolando r:
k_{1} - k_{1} r = k_{2} + k_{2} r
-k_{1} r - k_{2} r = k_{2} - k_{1}
r = \dfrac{k_{1} - k_{2}}{k_{1} + k_{2}}.
Então t = 1 + r, logo
t = \dfrac{2 k_{1}}{k_{1} + k_{2}}.

Passo 7

Expressar r e t em termos de \mu_{1} e \mu_{2} (forma muito útil em provas).
Usando k_{j}=\omega\sqrt{\dfrac{\mu_{j}}{T}}, o fator \omega/\sqrt{T} cancela na razão, portanto
r=\dfrac{\sqrt{\mu_{1}}-\sqrt{\mu_{2}}}{\sqrt{\mu_{1}}+\sqrt{\mu_{2}}},\qquad t=\dfrac{2\sqrt{\mu_{1}}}{\sqrt{\mu_{1}}+\sqrt{\mu_{2}}}.
Observação física curta (útil na prova): se \mu_{2}>\mu_{1} então r<0 (reflexão com inversão de fase); se \mu_{2}<\mu_{1} então r>0 (reflexão sem inversão).

Passo 8

Agora escrevo explicitamente as equações finais das ondas (a forma real que aparece no enunciado).
  • Onda refletida:
y_{\mathrm{r}}(x,t) = A_{\mathrm{r}} \cos\!\left(k_{1} x + \omega t\right) \qquad\text{com}\qquad A_{\mathrm{r}} = A_{\mathrm{i}}\;\dfrac{k_{1}-k_{2}}{k_{1}+k_{2}} = A_{\mathrm{i}}\;\dfrac{\sqrt{\mu_{1}}-\sqrt{\mu_{2}}}{\sqrt{\mu_{1}}+\sqrt{\mu_{2}}}.
  • Onda transmitida:
y_{\mathrm{t}}(x,t) = A_{\mathrm{t}} \cos\!\left(k_{2} x - \omega t\right) \qquad\text{com}\qquad A_{\mathrm{t}} = A_{\mathrm{i}}\;\dfrac{2k_{1}}{k_{1}+k_{2}} = A_{\mathrm{i}}\;\dfrac{2\sqrt{\mu_{1}}}{\sqrt{\mu_{1}}+\sqrt{\mu_{2}}}.

Resposta

y_{\mathrm{r}}(x,t) = A_{\mathrm{i}}\dfrac{k_{1}-k_{2}}{k_{1}+k_{2}}\;\cos\!\left(k_{1} x + \omega t\right)
y_{\mathrm{t}}(x,t) = A_{\mathrm{i}}\dfrac{2k_{1}}{k_{1}+k_{2}}\;\cos\!\left(k_{2} x - \omega t\right)
ou, em termos de \mu,
y_{\mathrm{r}}(x,t) = A_{\mathrm{i}}\dfrac{\sqrt{\mu_{1}}-\sqrt{\mu_{2}}}{\sqrt{\mu_{1}}+\sqrt{\mu_{2}}}\;\cos\!\left(k_{1} x + \omega t\right)
y_{\mathrm{t}}(x,t) = A_{\mathrm{i}}\dfrac{2\sqrt{\mu_{1}}}{\sqrt{\mu_{1}}+\sqrt{\mu_{2}}}\;\cos\!\left(k_{2} x - \omega t\right)

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