Exercício 25
Transmissão de ondas (relações de Fresnell). Considere uma onda harmônica (ou pulso) que se propaga na extremidade de uma corda de densidade linear \mu_{1} e tensão T, que está ligada a uma outra corda de densidade linear \mu_{2}, sob a mesma tensão T.
(a) Escreva as equações para as ondas refletida e transmitida, considerando a incidente dada por y_{\mathrm{i}}=A_{\mathrm{i}} \cos \left(k_{1} x-\omega t\right).
Passo 1
O enunciado dá uma corda à esquerda com densidade linear \mu_{1} e outra à direita com densidade linear \mu_{2}; as duas cordas estão sob a mesma tensão T. A onda incidente é
y_{\mathrm{i}} = A_{\mathrm{i}} \cos\!\left(k_{1} x - \omega t\right).
O que se pede: escrever as equações da onda refletida e da onda transmitida (ou seja, determinar as formas e os amplitude-relacionamentos A_{\mathrm{r}} e A_{\mathrm{t}} em função de A_{\mathrm{i}}, k_{1}, k_{2}, \mu_{1}, \mu_{2}, T, \omega etc.).
Da figura (peguei estas informações da imagem): há uma corda à esquerda (densidade \mu_{1}) e uma corda ligada à direita (densidade \mu_{2}), a tensão é a mesma T, o pulso incidente vem pela corda da esquerda em direção à junção e partes dele são refletidas e transmitidas.
Passo 2
Forma geral das ondas (intuição física e escolha das formas matemáticas).
A onda incidente viaja para a direita, já dada por \,y_{\mathrm{i}} = A_{\mathrm{i}} \cos\!\left(k_{1} x - \omega t\right).
A onda refletida viaja para a esquerda (sentido oposto); a forma geral para uma onda que viaja para a esquerda com o mesmo \omega e mesmo k_{1} é
y_{\mathrm{r}} = A_{\mathrm{r}} \cos\!\left(k_{1} x + \omega t\right).
Explicação rápida: trocar o sinal do termo em x na fase (ou, equivalentemente, trocar o sinal de k_{1}) inverte o sentido de propagação.
A onda transmitida na corda da direita viaja para a direita, mas com velocidade e número de onda diferentes; portanto a forma é
y_{\mathrm{t}} = A_{\mathrm{t}} \cos\!\left(k_{2} x - \omega t\right),
onde k_{2} está relacionado a \omega e à velocidade v_{2} da segunda corda por \,k_{2}=\dfrac{\omega}{v_{2}}\,.
Passo 3
Relações entre velocidades, números de onda e parâmetros das cordas.
Velocidade de onda em cada corda: \,v=\sqrt{\dfrac{T}{\mu}}\,. Assim
Continuidade da força transversal (tensão dá força proporcional à inclinação \partial y/\partial x); como a tensão é a mesma T dos dois lados, basta igualar as derivadas espaciais:
Essas duas equações permitem resolver A_{\mathrm{r}} e A_{\mathrm{t}} em função de A_{\mathrm{i}}.
Passo 5
Resolver as condições de contorno com representação complexa (fórmula que simplifica álgebra).
É conveniente usar a representação em fasores (exponenciais complexas) e depois tomar a parte real; escrevo as amplitudes normalizadas:
Resolver o sistema para os coeficientes relativos r=\dfrac{A_{\mathrm{r}}}{A_{\mathrm{i}}} e t=\dfrac{A_{\mathrm{t}}}{A_{\mathrm{i}}}.
Da primeira equação: t = 1 + r.
Substituindo na segunda:
k_{1}(1 - r) = k_{2}(1 + r).
Isolando r:
k_{1} - k_{1} r = k_{2} + k_{2} r
-k_{1} r - k_{2} r = k_{2} - k_{1}
r = \dfrac{k_{1} - k_{2}}{k_{1} + k_{2}}.
Então t = 1 + r, logo
t = \dfrac{2 k_{1}}{k_{1} + k_{2}}.
Passo 7
Expressar r e t em termos de \mu_{1} e \mu_{2} (forma muito útil em provas).
Usando k_{j}=\omega\sqrt{\dfrac{\mu_{j}}{T}}, o fator \omega/\sqrt{T} cancela na razão, portanto
Observação física curta (útil na prova): se \mu_{2}>\mu_{1} então r<0 (reflexão com inversão de fase); se \mu_{2}<\mu_{1} então r>0 (reflexão sem inversão).
Passo 8
Agora escrevo explicitamente as equações finais das ondas (a forma real que aparece no enunciado).