EXERCÍCIO 1.26. Considere um capacitor de placas paralelas carregado, cuja densidade de carga é desconhecida. Sabendo-se que a distância entre as suas placas vale
e que
e
, encontre o potencial e o campo elétrico entre as suas placas.
Passo 1
O enunciado dá um capacitor de placas paralelas com separação entre placas igual a
e as condições de contorno para o potencial:
-
, -
O que se pede:
- encontrar o potencial
no interior (entre) as placas, para ; - encontrar o campo elétrico
entre as placas.
Informações relevantes fornecidas: a distância
e os valores do potencial nas duas faces
e
. A densidade de carga não foi dada no enunciado.
Passo 2
Equação que governa o potencial eletrostático (em uma dimensão espacial, no interior do espaço entre as placas): a equação de Poisson. Escreve-se assim:
Explicando cada símbolo:
-
é o potencial elétrico em função da posição ; -
é a densidade volumétrica de carga (carga por unidade de volume) no ponto ; -
é a permissividade do vácuo (constante física); - a derivada
é a segunda derivada de em relação a .
Agora, um ponto físico importante (justify rapidamente): em um capacitor de placas paralelas ideais, as cargas elétricas dos condutores estão localizadas nas superfícies das placas — isto é, não há carga volumétrica espalhada no espaço entre as placas (assumindo vácuo ou dielétrico sem cargas livres). Logo, no interior entre as placas podemos tomar
Com isso a equação de Poisson reduce para a equação de Laplace em 1D:
Passo 3
Resolver a equação diferencial
.
Integramos uma vez em relação a
:
onde
é uma constante de integração (representa a derivada do potencial, relacionada ao campo).
Integramos uma segunda vez:
onde
é outra constante de integração.
Agora aplicamos as condições de contorno para determinar
e
.
Usando
:
Usando
:
Portanto o potencial entre as placas é a função linear
(Pequena intuição: com duas superfícies em potencial fixo e sem cargas no interior, o potencial varia de forma linear entre as superfícies — fica mais fácil na prova lembrar que é uma reta.)
Passo 4
Calcular o campo elétrico a partir do potencial. Relação fundamental entre campo elétrico e potencial:
Em uma única direção
(problema unidimensional) isso vira
Diferenciando a solução encontrada:
logo
Como vetor (tomando
como versor na direção positiva
):
Interpretação do sinal: se
a componente
é negativa, isto é, o campo aponta no sentido de diminuir
(do lado de maior potencial para o de menor potencial), conforme a regra geral de que o campo aponta na direção de decrescimento do potencial. O módulo do campo é constante e vale
.
Passo 5
Cheque rápido (consistência): a diferença de potencial entre as placas calculada a partir do campo deve ser
o que confirma que as expressões são coerentes.
Dica pra prova: memorize que entre placas ideais sem carga volumétrica o potencial é linear e o campo é uniforme; isso economiza tempo.