decompomha o polinômio dado, em fatores do
grau.
Passo 1
O enunciado pede para decompor o polinômio em fatores de 1.º grau. O que temos explicitamente:
- Polinômio dado:
. - Objetivo: escrever
como produto de seis fatores lineares (ou seja, encontrar todas as raízes e escrever produto de para cada uma).
Passo 2
Observação útil (reconhecimento de padrão):
é um quadrado perfeito e também uma potência de
. Em particular
e
. Note que:
logo podemos ver
como diferença de quadrados. Aplicando a identidade
com
e
, obtemos
Passo 3
Agora fatoramos cada fator cúbico. Lembre-se das fórmulas:
Aqui use
e
(pois
). Assim:
Portanto
Passo 4
Agora cada fator quadrático precisa ser escrito em fatores lineares. Para isso usaremos a fórmula quadrática geral:
Aplicamos a essa fórmula para cada quadrática.
Passo 5
Fator
: aqui
,
,
.
Calcule o discriminante:
Calcule o discriminante:
Como
, as raízes são complexas. A raiz quadrada de
é
. Aplicando a fórmula:
Logo as duas raízes são
e
. Assim o fator quadrático se escreve como produto de lineares:
Passo 6
Fator
: aqui
,
,
.
Calcule o discriminante:
Calcule o discriminante:
mesma situação.
. Aplicando a fórmula:
As raízes são
e
. Então
Passo 7
Agora substituímos essas fatorações na expressão de
. Lembrando dos fatores lineares
e
, obtemos a decomposição completa em fatores de 1.º grau: