decompomha o polinômio dado, em fatores do 1^{\circ} grau.
p(z)=z^{6}-64

Passo 1

O enunciado pede para decompor o polinômio em fatores de 1.º grau. O que temos explicitamente:
  • Polinômio dado: p(z)=z^{6}-64.
  • Objetivo: escrever p(z) como produto de seis fatores lineares (ou seja, encontrar todas as raízes e escrever p(z)= produto de (z-\text{raiz}) para cada uma).

Passo 2

Observação útil (reconhecimento de padrão): 64 é um quadrado perfeito e também uma potência de 2. Em particular 64=8^{2} e 8=2^{3}. Note que:
z^{6}=(z^{3})^{2},
logo podemos ver p(z) como diferença de quadrados. Aplicando a identidade a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b) com a=z^{3} e b=8, obtemos
p(z)=z^{6}-64=(z^{3}-8)(z^{3}+8).

Passo 3

Agora fatoramos cada fator cúbico. Lembre-se das fórmulas:
a^{3}-b^{3}=(a-b)(a^{2}+ab+b^{2}), \qquad a^{3}+b^{3}=(a+b)(a^{2}-ab+b^{2}).
Aqui use a=z e b=2 (pois 8=2^{3}). Assim:
z^{3}-8=(z-2)(z^{2}+2z+4),
z^{3}+8=(z+2)(z^{2}-2z+4).
Portanto
p(z)=(z-2)(z^{2}+2z+4)(z+2)(z^{2}-2z+4).

Passo 4

Agora cada fator quadrático precisa ser escrito em fatores lineares. Para isso usaremos a fórmula quadrática geral:
\text{Se }az^{2}+bz+c=0,\text{ então }z=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.ã
Aplicamos a essa fórmula para cada quadrática.

Passo 5

Fator z^{2}+2z+4: aqui a=1, b=2, c=4.
Calcule o discriminante:
\Delta=b^{2}-4ac=2^{2}-4\cdot1\cdot4=4-16=-12.
Como \Delta<0, as raízes são complexas. A raiz quadrada de \Delta é \sqrt{-12}=i\sqrt{12}=2i\sqrt{3}. Aplicando a fórmula:
z=\frac{-2\pm 2i\sqrt{3}}{2}=-1\pm i\sqrt{3}.
Logo as duas raízes são z=-1+i\sqrt{3} e z=-1-i\sqrt{3}. Assim o fator quadrático se escreve como produto de lineares:
z^{2}+2z+4=(z-(-1+i\sqrt{3}))(z-(-1-i\sqrt{3}))=(z+1-i\sqrt{3})(z+1+i\sqrt{3}).

Passo 6

Fator z^{2}-2z+4: aqui a=1, b=-2, c=4.
Calcule o discriminante:
\Delta=b^{2}-4ac=(-2)^{2}-4\cdot1\cdot4=4-16=-12,
mesma situação. \sqrt{\Delta}=2i\sqrt{3}. Aplicando a fórmula:
z=\frac{2\pm 2i\sqrt{3}}{2}=1\pm i\sqrt{3}.
As raízes são z=1+i\sqrt{3} e z=1-i\sqrt{3}. Então
z^{2}-2z+4=(z-(1+i\sqrt{3}))(z-(1-i\sqrt{3}))=(z-1-i\sqrt{3})(z-1+i\sqrt{3}).

Passo 7

Agora substituímos essas fatorações na expressão de p(z). Lembrando dos fatores lineares z-2 e z+2, obtemos a decomposição completa em fatores de 1.º grau:
p(z)=(z-2)(z+2)(z+1-i\sqrt{3})(z+1+i\sqrt{3})(z-1-i\sqrt{3})(z-1+i\sqrt{3}).

Resposta

p(z)=(z-2)(z+2)(z+1-i\sqrt{3})(z+1+i\sqrt{3})(z-1-i\sqrt{3})(z-1+i\sqrt{3})

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