Calcule a potência
Passo 1
O enunciado pede para calcular a potência
.
Informações dadas:
Informações dadas:
- O número complexo é
. - Deve-se elevar esse número à décima potência.
Passo 2
Primeiro faço uma simplificação algébrica que deixa o cálculo mais limpo: fatoro
do número complexo.
Portanto
Explicação didática: ao tirar um fator comum antes de elevar à potência, transformo o problema em um produto de uma potência real (fácil) pela potência de
(onde uso forma polar). Isso economiza contas na prova.
Passo 3
Agora vamos tratar
. Para usar a forma polar e o teorema de De Moivre, preciso do módulo
e do argumento
de
.
Fórmulas úteis (explicadas):
- O módulo de um complexo
é Aqui e são as partes real e imaginária. - O argumento
(ângulo) satisfaz quando ; escolher o quadrante conforme os sinais de e . - Em forma polar:
- Teorema de De Moivre:
Aplicando a
:
Como
está no primeiro quadrante e
, temos
Logo
Passo 4
Aplico De Moivre para
:
Calculo cada parte separadamente:
E o ângulo:
Observação sobre periodicidade:
é periódica com período
, então
E
.
Portanto
Passo 5
Volto ao fator real
que havia separado no Passo 2:
Calculo
:
Multiplicando:
Simplificando a fração
(dividindo numerador e denominador por
):
Em forma retangular isso é
.
Passo 6
Comentário final e checagem rápida: o método polar + De Moivre foi escolhido porque para potências inteiras de números complexos não-unitários a forma polar transforma a potência em potências de escala (fácil) e multiplicação de ângulos (fácil), evitando a expansão binomial longa. A resposta é simples e plausível (imaginária pura, pois a razão angular resultou em
).