Calcule a potência
\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{2} i\right)^{10}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a potência \left(\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}i\right)^{10}.
Informações dadas:
  • O número complexo é \dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}i.
  • Deve-se elevar esse número à décima potência.

Passo 2

Primeiro faço uma simplificação algébrica que deixa o cálculo mais limpo: fatoro \dfrac{1}{2} do número complexo.
\frac{1}{2}+\frac{1}{2}i=\frac{1}{2}(1+i).
Portanto
\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{2}i\right)^{10}=\left(\frac{1}{2}\right)^{10}(1+i)^{10}.
Explicação didática: ao tirar um fator comum antes de elevar à potência, transformo o problema em um produto de uma potência real (fácil) pela potência de 1+i (onde uso forma polar). Isso economiza contas na prova.

Passo 3

Agora vamos tratar 1+i. Para usar a forma polar e o teorema de De Moivre, preciso do módulo r e do argumento \theta de 1+i.
Fórmulas úteis (explicadas):
  • O módulo de um complexo a+bi é \;r=\sqrt{a^{2}+b^{2}}. Aqui a e b são as partes real e imaginária.
  • O argumento \theta (ângulo) satisfaz \tan\theta=\dfrac{b}{a} quando a>0; escolher o quadrante conforme os sinais de a e b.
  • Em forma polar: a+bi = r(\cos\theta + i\sin\theta)=r e^{i\theta}.
  • Teorema de De Moivre: (r e^{i\theta})^{n}=r^{n} e^{i n\theta}.
Aplicando a 1+i:
r=\sqrt{1^{2}+1^{2}}=\sqrt{2}.
Como 1+i está no primeiro quadrante e \tan\theta=1, temos
\theta=\frac{\pi}{4}.
Logo
1+i=\sqrt{2}\,e^{i\pi/4}.

Passo 4

Aplico De Moivre para (1+i)^{10}:
(1+i)^{10}=\big(\sqrt{2}\,e^{i\pi/4}\big)^{10}=(\sqrt{2})^{10}e^{i(10\cdot\pi/4)}.
Calculo cada parte separadamente:
(\sqrt{2})^{10}=(2^{1/2})^{10}=2^{5}=32.
E o ângulo:
10\cdot\frac{\pi}{4}=\frac{10\pi}{4}=\frac{5\pi}{2}.
Observação sobre periodicidade: e^{i\alpha} é periódica com período 2\pi, então
e^{i\frac{5\pi}{2}}=e^{i\left(2\pi+\frac{\pi}{2}\right)}=e^{i2\pi}\,e^{i\pi/2}=1\cdot e^{i\pi/2}=e^{i\pi/2}.
E e^{i\pi/2}=\cos\frac{\pi}{2}+i\sin\frac{\pi}{2}=i.
Portanto
(1+i)^{10}=32\cdot i.

Passo 5

Volto ao fator real \left(\dfrac{1}{2}\right)^{10} que havia separado no Passo 2:
\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{2}i\right)^{10}=\left(\frac{1}{2}\right)^{10}(1+i)^{10}=\left(\frac{1}{2}\right)^{10}\cdot(32i).
Calculo \left(\dfrac{1}{2}\right)^{10}:
\left(\frac{1}{2}\right)^{10}=\frac{1}{2^{10}}=\frac{1}{1024}.
Multiplicando:
\frac{1}{1024}\cdot 32i=\frac{32}{1024}\,i.
Simplificando a fração \dfrac{32}{1024}=\dfrac{1}{32} (dividindo numerador e denominador por 32):
\frac{32}{1024}i=\frac{1}{32}i.
Em forma retangular isso é 0+\dfrac{1}{32}i.

Passo 6

Comentário final e checagem rápida: o método polar + De Moivre foi escolhido porque para potências inteiras de números complexos não-unitários a forma polar transforma a potência em potências de escala (fácil) e multiplicação de ângulos (fácil), evitando a expansão binomial longa. A resposta é simples e plausível (imaginária pura, pois a razão angular resultou em \pi/2).

Resposta

\dfrac{i}{32}

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