Exercício 4.26 Identifique os pontos críticos de
dada abaixo, os intervalos de crescimento e decrescimento de
os pontos e valores máximos e mínimos locais de
. Considere que os domínios são sempre os maiores possíveis em
.
Passo 1
O enunciado nos dá a função
e pede que identifiquemos (i) os pontos críticos de
, (ii) os intervalos de crescimento e decrescimento, e (iii) os pontos e valores de máximos e mínimos locais. Vamos usar cálculo de derivada e análise do seu sinal, lembrando que a raiz quadrada exige
.
Passo 2
Determinar o domínio de
. Como aparece
, devemos ter
Logo o domínio natural é .
Logo o domínio natural é
Passo 3
Calcular a derivada
para
. Usando
e a derivada de
, obtemos
Passo 4
Encontrar pontos em que
ou
não existe (no interior do domínio).
- Igualando a zero:
-
não existe em , mas como está no domínio e é extremo de intervalo, o consideramos ponto crítico também.
Portanto, os pontos críticos são
(por derivada indefinida) e
.
Passo 5
Analisar o sinal de
para
. O fator
não altera o sinal, então olhamos
- Se
, então , logo e . Assim . - Se
, então , logo e . Assim .
Passo 6
Concluir os intervalos de crescimento e decrescimento em
:
-
cresce em . Como em não há intervalo à esquerda, podemos dizer que cresce em . -
decresce em .
Passo 7
Identificar máximos e mínimos locais usando a troca de sinal de
:
- Em
, vai de positivo para negativo, logo há máximo local.
Calculando. - Em
, como é positivo imediatamente à direita e não há valores à esquerda, atinge um mínimo local em .
Calculando.
Resposta
Pontos críticos:
e
.
Intervalos de crescimento: .
Intervalos de decrescimento: .
Máximo local em , com valor
.
Mínimo local em , com valor
.
Intervalos de crescimento:
Intervalos de decrescimento:
Máximo local em
Mínimo local em