Exercício 4.26 Identifique os pontos críticos de
dada abaixo, os intervalos de crescimento e decrescimento de
os pontos e valores máximos e mínimos locais de
. Considere que os domínios são sempre os maiores possíveis em
.
Passo 1
O enunciado nos dá a função
definida em
. Precisamos encontrar os pontos críticos (onde
ou
não está definida), os intervalos de crescimento e decrescimento e os extremos locais de
.
Passo 2
Calculamos a derivada de
, que existe para todo
:
Para achar os pontos críticos, resolvemos
Passo 3
Analisamos o sinal de
:
- Se , então
, logo
e
é crescente.
- Se , então
, logo
e
é decrescente.
- Se
- Se
Passo 4
Como
passa de positiva para negativa em
, temos um máximo local aí. Calculamos o valor:
Não há mínimo local, pois não há outra mudança de sinal de
.
Resposta
Ponto crítico:
.
Intervalo de crescimento: .
Intervalo de decrescimento: .
Máximo local em com valor
.
Não há mínimo local.
Intervalo de crescimento:
Intervalo de decrescimento:
Máximo local em
Não há mínimo local.