Exercício 4.26 Identifique os pontos críticos de f dada abaixo, os intervalos de crescimento e decrescimento de f e os pontos e valores máximos e mínimos locais de f. Considere que os domínios são sempre os maiores possíveis em \mathbb{R}.
f(x)=4 \sqrt{x}-x^{2}+3

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x)=4\sqrt{x}-x^{2}+3
e pede que identifiquemos (i) os pontos críticos de f, (ii) os intervalos de crescimento e decrescimento, e (iii) os pontos e valores de máximos e mínimos locais. Vamos usar cálculo de derivada e análise do seu sinal, lembrando que a raiz quadrada exige x\ge0.

Passo 2

Determinar o domínio de f. Como aparece \sqrt{x}, devemos ter x\ge0.
Logo o domínio natural é [0,\infty).

Passo 3

Calcular a derivada f'(x) para x>0. Usando \frac{d}{dx}\sqrt{x}=\tfrac1{2\sqrt{x}} e a derivada de -x^2, obtemos
f'(x) =4\cdot\frac1{2\sqrt{x}}-2x =\frac{2}{\sqrt{x}}-2x =2\Bigl(\frac1{\sqrt{x}}-x\Bigr).

Passo 4

Encontrar pontos em que f'(x)=0 ou f' não existe (no interior do domínio).
  1. Igualando a zero:
\frac1{\sqrt{x}}-x=0 \quad\Longrightarrow\quad x^{3/2}=1 \quad\Longrightarrow\quad x=1.
  1. f'(x) não existe em x=0, mas como x=0 está no domínio e é extremo de intervalo, o consideramos ponto crítico também.
Portanto, os pontos críticos são x=0 (por derivada indefinida) e x=1.

Passo 5

Analisar o sinal de f'(x)=2\bigl(\tfrac1{\sqrt{x}}-x\bigr) para x>0. O fator 2 não altera o sinal, então olhamos
g(x)=\frac1{\sqrt{x}}-x.
  • Se 0<x<1, então x^{3/2}<1, logo \tfrac1{\sqrt{x}}>x e g(x)>0. Assim f'(x)>0.
  • Se x>1, então x^{3/2}>1, logo \tfrac1{\sqrt{x}}<x e g(x)<0. Assim f'(x)<0.

Passo 6

Concluir os intervalos de crescimento e decrescimento em [0,\infty):
  • f cresce em (0,1). Como em x=0 não há intervalo à esquerda, podemos dizer que cresce em [0,1).
  • f decresce em (1,\infty).

Passo 7

Identificar máximos e mínimos locais usando a troca de sinal de f':
  • Em x=1, f' vai de positivo para negativo, logo há máximo local.
    Calculando f(1)=4\cdot1-1+3=6.
  • Em x=0, como f' é positivo imediatamente à direita e não há valores à esquerda, f atinge um mínimo local em x=0.
    Calculando f(0)=4\cdot0-0+3=3.

Resposta

Pontos críticos: x=0 e x=1.
Intervalos de crescimento: [0,1).
Intervalos de decrescimento: (1,\infty).
Máximo local em x=1, com valor f(1)=6.
Mínimo local em x=0, com valor f(0)=3.

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