Exercício 4.26 Identifique os pontos críticos de
dada abaixo, os intervalos de crescimento e decrescimento de
os pontos e valores máximos e mínimos locais de
. Considere que os domínios são sempre os maiores possíveis em
.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para encontrar os pontos críticos de
, os intervalos de crescimento e decrescimento, e os pontos e valores de máximos e mínimos locais. Para isso, vamos (1) determinar o domínio de
, (2) calcular
, (3) achar onde
é zero ou não existe e (4) analisar o sinal de
.
Passo 2
Domínio de
: como aparece
, precisamos de
Logo o domínio é .
Logo o domínio é
Passo 3
Para
, calculamos a derivada usando regra da cadeia:
Em
,
zera o denominador, então
não existe em
.
Passo 4
Pontos críticos são onde
ou
não existe, dentro do domínio.
- Não há solução de
porque . -
não existe em .
Análise de sinal em
: para todo
,
e
, então
Isso mostra que
é estritamente crescente em
. Não há nenhum intervalo onde
decresça.
Passo 5
Como
cresce em todo o domínio exceto que em
ocorre a única falha de derivabilidade, concluímos:
-
é o único ponto crítico. - Em
, é um mínimo local (na verdade global também). - Não há nenhum máximo local, pois não há ponto onde a função comece a decrescer.
Resposta
Pontos críticos:
Intervalos de crescimento:
Intervalos de decrescimento: nenhum
Mínimo local: em , com valor
Máximos locais: nenhum
Intervalos de crescimento:
Intervalos de decrescimento: nenhum
Mínimo local: em
Máximos locais: nenhum