Exercício 4.26 Identifique os pontos críticos de f dada abaixo, os intervalos de crescimento e decrescimento de f e os pontos e valores máximos e mínimos locais de f. Considere que os domínios são sempre os maiores possíveis em \mathbb{R}.
f(x)=e^{\sqrt{x}}

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=e^{\sqrt{x}}
e pede para encontrar os pontos críticos de f, os intervalos de crescimento e decrescimento, e os pontos e valores de máximos e mínimos locais. Para isso, vamos (1) determinar o domínio de f, (2) calcular f', (3) achar onde f' é zero ou não existe e (4) analisar o sinal de f'.

Passo 2

Domínio de f: como aparece \sqrt{x}, precisamos de x\ge0.
Logo o domínio é [0,\infty).

Passo 3

Para x>0, calculamos a derivada usando regra da cadeia:
f'(x) =\frac{d}{dx}\bigl(e^{\sqrt{x}}\bigr) =e^{\sqrt{x}}\cdot\frac{d}{dx}(\sqrt{x}) =e^{\sqrt{x}}\cdot\frac{1}{2\sqrt{x}} =\frac{e^{\sqrt{x}}}{2\sqrt{x}}.
Em x=0, \sqrt{x} zera o denominador, então f' não existe em x=0.

Passo 4

Pontos críticos são onde f'=0 ou f' não existe, dentro do domínio.
  • Não há solução de \tfrac{e^{\sqrt{x}}}{2\sqrt{x}}=0 porque e^{\sqrt{x}}>0.
  • f' não existe em x=0.
Análise de sinal em (0,\infty): para todo x>0, e^{\sqrt{x}}>0 e \sqrt{x}>0, então
f'(x)>0\quad\forall\,x>0.
Isso mostra que f é estritamente crescente em (0,\infty). Não há nenhum intervalo onde f decresça.

Passo 5

Como f cresce em todo o domínio exceto que em x=0 ocorre a única falha de derivabilidade, concluímos:
  • x=0 é o único ponto crítico.
  • Em x=0, f(0)=e^0=1 é um mínimo local (na verdade global também).
  • Não há nenhum máximo local, pois não há ponto onde a função comece a decrescer.

Resposta

Pontos críticos: x=0
Intervalos de crescimento: (0,\infty)
Intervalos de decrescimento: nenhum
Mínimo local: em x=0, com valor f(0)=1
Máximos locais: nenhum

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