Exercício 4.26 Identifique os pontos críticos de f dada abaixo, os intervalos de crescimento e decrescimento de f e os pontos e valores máximos e mínimos locais de f. Considere que os domínios são sempre os maiores possíveis em \mathbb{R}. \mathrm{f}(\mathrm{x})=\mathrm{x} \ln (\mathrm{x})
Passo 1
O enunciado dá a função \displaystyle f(x)=x\ln(x)
e pede os pontos críticos, os intervalos de crescimento e decrescimento, e os máximos e mínimos locais.
O conteúdo usado será derivadas (regra do produto), análise do sinal de f'(x) e teste da segunda derivada.
O domínio natural é x>0.
Passo 2
Usamos a regra do produto em f(x)=u(x)v(x) com u(x)=x e v(x)=\ln(x). Logo
Não há nenhum ponto de máximo local, pois a segunda derivada é sempre positiva.
Resposta
Ponto crítico: x=1/e com f(1/e)=-1/e.
Intervalo de crescimento: (1/e,\infty).
Intervalo de decrescimento: (0,1/e).
Mínimo local em \bigl(1/e,\,-1/e\bigr).
Não há máximo local.