Exercício 4.26 Identifique os pontos críticos de f dada abaixo, os intervalos de crescimento e decrescimento de f e os pontos e valores máximos e mínimos locais de f. Considere que os domínios são sempre os maiores possíveis em \mathbb{R}.
\mathrm{f}(\mathrm{x})=\mathrm{x} \ln (\mathrm{x})

Passo 1

O enunciado dá a função \displaystyle f(x)=x\ln(x)
e pede os pontos críticos, os intervalos de crescimento e decrescimento, e os máximos e mínimos locais.
O conteúdo usado será derivadas (regra do produto), análise do sinal de f'(x) e teste da segunda derivada.
O domínio natural é x>0.

Passo 2

Usamos a regra do produto em f(x)=u(x)v(x) com u(x)=x e v(x)=\ln(x). Logo
f'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x) =\underbrace{1}_{u'}\ln(x)+x\cdot\underbrace{\frac1x}_{v'} =\ln(x)+1.

Passo 3

Ponto crítico ocorre onde f'(x)=0 ou não existe. Como f'(x)=\ln(x)+1 existe para todo x>0, basta
\ln(x)+1=0 \quad\Longrightarrow\quad \ln(x)=-1 \quad\Longrightarrow\quad x=e^{-1}=\tfrac1e.

Passo 4

Para os intervalos usamos o sinal de f'(x)=\ln(x)+1:
  • Se \ln(x)+1>0, isto é \ln(x)>-1, então x>1/e e f cresce em (1/e,\infty).
  • Se \ln(x)+1<0, isto é 0<x<1/e, então f decresce em (0,1/e).
    Para classificar o ponto x=1/e, calculamos
f''(x)=\frac{d}{dx}\bigl(\ln(x)+1\bigr)=\frac1x,
logo
f''(1/e)=e>0,
indicando mínimo local em x=1/e.

Passo 5

O valor de f em x=1/e é
f\bigl(1/e\bigr)=\frac1e\ln\!\bigl(1/e\bigr) =\frac1e\cdot(-1)=-\frac1e.
Não há nenhum ponto de máximo local, pois a segunda derivada é sempre positiva.

Resposta

Ponto crítico: x=1/e com f(1/e)=-1/e.
Intervalo de crescimento: (1/e,\infty).
Intervalo de decrescimento: (0,1/e).
Mínimo local em \bigl(1/e,\,-1/e\bigr).
Não há máximo local.

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