Exercício 14. Em cada caso, determine L de modo que a função dada seja contínua no dado ponto a:
f(x)=\left\{\begin{array}{lll}\frac{x^{3}-1}{x^{4}+3 x-4} & \text { se } & x \neq 1 \\\ L & \text { se } & x=1\end{array}\right., em a= 1.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=\begin{cases} \displaystyle\frac{x^{3}-1}{x^{4}+3x-4}, & \text{se }x\neq1,\\[6pt] L, & \text{se }x=1, \end{cases}
e pede: determinar L de modo que f seja contínua no ponto a=1.
Informações dadas:
  • A expressão para f(x) quando x\neq1 é \dfrac{x^{3}-1}{x^{4}+3x-4}.
  • O valor de f em x=1 foi definido como L (desconhecido).
  • O ponto onde exigimos continuidade é a=1.]

Passo 2

O que significa "ser contínua em a=1"?
Por definição, f é contínua em x=1 se e somente se
\lim_{x\to1} f(x) = f(1).
No nosso caso f(1)=L. Logo, para que f seja contínua em 1 precisamos que
\lim_{x\to1}\frac{x^{3}-1}{x^{4}+3x-4}=L.
Portanto vamos calcular a limite à esquerda e à direita (que, para funções racionais bem comportadas, coincidem) e igualar esse valor a L.

Passo 3

Primeiro tente substituição direta na forma \dfrac{\text{numerador}}{\text{denominador}}. Calcular o numerador e denominador em x=1:
x^{3}-1\Big|_{x=1}=1^{3}-1=0, \qquad x^{4}+3x-4\Big|_{x=1}=1^{4}+3\cdot1-4=0.
Obtemos a forma indeterminada \dfrac{0}{0}. Isso significa que não podemos decidir o limite por substituição direta; normalmente há um fator comum (aqui provavelmente x-1) que deve ser cancelado para simplificar.

Passo 4

Fatorar o numerador. Usa-se a fórmula da diferença de cubos:
x^{3}-1=(x-1)(x^{2}+x+1).
Explicação curta: x^{3}-1 é (x)^{3}-(1)^{3} e a identidade a^{3}-b^{3}=(a-b)(a^{2}+ab+b^{2}) dá exatamente esse fator.

Passo 5

Fatorar o denominador. Como x=1 anula o denominador, sabemos que (x-1) é um fator. Para dividir x^{4}+3x-4 por (x-1) podemos usar divisão sintética (mais rápida que divisão longa):
Coeficientes de x^{4}+0x^{3}+0x^{2}+3x-4 são 1,0,0,3,-4. Tomando a raiz 1:
  • Descer o 1 (primeiro coeficiente): obtém-se 1.
  • Multiplicar por 1 e somar: 1\cdot1=1, 0+1=1.
  • Multiplicar por 1 e somar: 1\cdot1=1, 0+1=1.
  • Multiplicar por 1 e somar: 1\cdot1=1, 3+1=4.
  • Multiplicar por 1 e somar: 4\cdot1=4, -4+4=0 (resto nulo, confirma fator).
Logo o quociente tem coeficientes 1,1,1,4, isto é x^{3}+x^{2}+x+4. Portanto
x^{4}+3x-4=(x-1)(x^{3}+x^{2}+x+4).

Passo 6

Agora podemos simplificar a expressão para x\neq1:
\frac{x^{3}-1}{x^{4}+3x-4} = \frac{(x-1)(x^{2}+x+1)}{(x-1)(x^{3}+x^{2}+x+4)} = \frac{x^{2}+x+1}{x^{3}+x^{2}+x+4}\qquad (x\neq1).
Para calcular o limite \lim_{x\to1} dessa expressão simplificada, como o denominador no ponto x=1 vale
x^{3}+x^{2}+x+4\Big|_{x=1}=1+1+1+4=7\neq0,
podemos simplesmente substituir x=1 (a função simplificada é contínua em 1). Assim
\lim_{x\to1}\frac{x^{3}-1}{x^{4}+3x-4} = \frac{1^{2}+1+1}{1^{3}+1^{2}+1+4} = \frac{3}{7}.
Portanto, para que \lim_{x\to1} f(x)=L e assim f seja contínua em 1, devemos escolher L=\dfrac{3}{7}.

Passo 7

Resumo final e comentário amigo: achamos o limite cancelando o fator comum (x-1). Esse procedimento é padrão para indeterminações do tipo \dfrac{0}{0}. Com L=\dfrac{3}{7} a função vale o mesmo que o limite em 1, garantindo continuidade. Você consegue — só lembrar de buscar fatores comuns ou usar l’Hôpital quando não houver fatoração simples (aqui a fatoração foi imediata).

Resposta

L=\dfrac{3}{7}

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