Exercício 14. Em cada caso, determine L de modo que a função dada seja contínua no dado ponto a: f(x)=\left\{\begin{array}{lll}\frac{x^{3}-1}{x^{4}+3 x-4} & \text { se } & x \neq 1 \\\ L & \text { se } & x=1\end{array}\right., em a= 1.
Obtemos a forma indeterminada \dfrac{0}{0}. Isso significa que não podemos decidir o limite por substituição direta; normalmente há um fator comum (aqui provavelmente x-1) que deve ser cancelado para simplificar.
Passo 4
Fatorar o numerador. Usa-se a fórmula da diferença de cubos:
x^{3}-1=(x-1)(x^{2}+x+1).
Explicação curta: x^{3}-1 é (x)^{3}-(1)^{3} e a identidade a^{3}-b^{3}=(a-b)(a^{2}+ab+b^{2}) dá exatamente esse fator.
Passo 5
Fatorar o denominador. Como x=1 anula o denominador, sabemos que (x-1) é um fator. Para dividir x^{4}+3x-4 por (x-1) podemos usar divisão sintética (mais rápida que divisão longa):
Coeficientes de x^{4}+0x^{3}+0x^{2}+3x-4 são 1,0,0,3,-4. Tomando a raiz 1:
Descer o 1 (primeiro coeficiente): obtém-se 1.
Multiplicar por 1 e somar: 1\cdot1=1, 0+1=1.
Multiplicar por 1 e somar: 1\cdot1=1, 0+1=1.
Multiplicar por 1 e somar: 1\cdot1=1, 3+1=4.
Multiplicar por 1 e somar: 4\cdot1=4, -4+4=0 (resto nulo, confirma fator).
Logo o quociente tem coeficientes 1,1,1,4, isto é x^{3}+x^{2}+x+4. Portanto
x^{4}+3x-4=(x-1)(x^{3}+x^{2}+x+4).
Passo 6
Agora podemos simplificar a expressão para x\neq1:
Portanto, para que \lim_{x\to1} f(x)=L e assim f seja contínua em 1, devemos escolher L=\dfrac{3}{7}.
Passo 7
Resumo final e comentário amigo: achamos o limite cancelando o fator comum (x-1). Esse procedimento é padrão para indeterminações do tipo \dfrac{0}{0}. Com L=\dfrac{3}{7} a função vale o mesmo que o limite em 1, garantindo continuidade. Você consegue — só lembrar de buscar fatores comuns ou usar l’Hôpital quando não houver fatoração simples (aqui a fatoração foi imediata).