Exercício 4.8.26. Seja \mathcal{B}=\left\{\mathbf{e}_{1}, \mathbf{e}_{2}, \mathbf{e}_{3}\right\} uma base de \mathbb{R}^{3} e seja F: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} a aplicação linear tal que
F\left(\mathbf{e}_{1}\right)=\mathbf{e}_{1}-2 \mathbf{e}_{2}+\mathbf{e}_{3}, \quad F\left(\mathbf{e}_{2}\right)=2 \mathbf{e}_{2}-\mathbf{e}_{3}, \quad F\left(\mathbf{e}_{3}\right)=\mathbf{e}_{1}+\mathbf{e}_{3}
a) Determinar \operatorname{Ker} F e \operatorname{Im} F, especificando as dimensões e exibindo respectivas bases.
b) Provar que F é inversível.
c) Calcular as matrizes representativas M_{F}^{\mathcal{B}} e M_{F^{-1}}^{\mathcal{B}} de F e F^{-1} com respeito à base \mathcal{B}.
d) Seja W=\left\{x \in \mathbb{R}^{3}: x_{1}+2 x_{2}-x_{3}=0\right\}. Determinar uma base do sub-espaço F(W).

Passo 1

O enunciado dá F\colon \mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 linear com
F(e_1) = e_1 - 2e_2 + e_3,\quad F(e_2) = 2e_2 - e_3,\quad F(e_3) = e_1 + e_3
e pede:
a) \ker F e \operatorname{Im}F, dimensões e bases;
b) provar que F é invertível;
c) achar M_F^{\mathcal B} e M_{F^{-1}}^{\mathcal B};
d) para W=\{x\in\mathbb R^3:x_1+2x_2-x_3=0\}, achar base de F(W).
Conteúdo: transformações lineares, núcleo e imagem, teorema da dimensão, matriz de transformação e subespaço imagem.

Passo 2

Vamos primeiro montar a matriz de F na base \mathcal B=\{e_1,e_2,e_3\}. As colunas são as coordenadas de F(e_i):
M_F^{\mathcal B} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1\\\\ -2& 2 & 0\\\\ 1 & -1& 1 \end{pmatrix}.

Passo 3

Para \ker F\) resolvemos \(M_F\,x=0\), ou seja \[\begin{cases} x_1 + x_3 =0,\\\\ -2x_1+2x_2=0,\\\ x_1 -x_2 +x_3=0. \end{cases}
Da segunda equação x_2=x_1\]. Substituindo na primeira e terceira vem \(x_3=-x_1 e x_3=0, o que força x_1=0. Logo \ker F=\{0\}, \dim\ker F=0.
Pelo Teorema da Dimensão em \mathbb R^3, \dim\operatorname{Im}F=3-0=3, e uma base de \operatorname{Im}F é \{F(e_1),F(e_2),F(e_3)\}.

Passo 4

Como \ker F=\{0\} e estamos em dimensão finita, F é injetora e portanto bijetora, ou seja, invertível.

Passo 5

Para achar M_{F^{-1}}^{\mathcal B} basta calcular \bigl(M_F^{\mathcal B}\bigr)^{-1}. O determinante de M_F é 2\neq0, e o inverso é
M_{F^{-1}}^{\mathcal B} =\bigl(M_F^{\mathcal B}\bigr)^{-1} =\frac12 \begin{pmatrix} 2 & -1 & -2\\\\ 2 & 0 & -2\\\\ 0 & 1 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & -\tfrac12 & -1\\\\ 1 & 0 & -1\\\\ 0 & \tfrac12 & 1 \end{pmatrix}.

Passo 6

Para W=\{x=(x_1,x_2,x_3):x_1+2x_2-x_3=0\} escrevemos x_3=x_1+2x_2, então
x = x_1(1,0,1) + x_2(0,1,2).
Aplicando F:
F(x) = x_1\bigl(F(e_1)+F(e_3)\bigr) + x_2\bigl(F(e_2)+2F(e_3)\bigr).
Como
F(e_1)+F(e_3)=2(e_1-e_2+e_3),\quad F(e_2)+2F(e_3)=(2,2,1),
uma base de F(W) é, por exemplo, \{\,e_1-e_2+e_3,\;(2,2,1)\}.

Resposta

a) \ker F=\{0\}, \dim\ker F=0.
\operatorname{Im}F tem dimensão 3 e base \{F(e_1),F(e_2),F(e_3)\}.
b) \ker F=\{0\} em \mathbb R^3 \implies F inversível.
c)
M_F^{\mathcal B} =\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1\\\\ -2& 2 & 0\\\\ 1 & -1& 1 \end{pmatrix},\quad M_{F^{-1}}^{\mathcal B} =\begin{pmatrix} 1 & -\tfrac12 & -1\\\\ 1 & 0 & -1\\\\ 0 & \tfrac12 & 1 \end{pmatrix}.
d) Uma base de F(W) é \{(1,-1,1),(2,2,1)\}.

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