Exercício 4.8.26. Seja \mathcal{B}=\left\{\mathbf{e}_{1}, \mathbf{e}_{2}, \mathbf{e}_{3}\right\} uma base de \mathbb{R}^{3} e seja F: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} a aplicação linear tal que
a) Determinar \operatorname{Ker} F e \operatorname{Im} F, especificando as dimensões e exibindo respectivas bases.
b) Provar que F é inversível.
c) Calcular as matrizes representativas M_{F}^{\mathcal{B}} e M_{F^{-1}}^{\mathcal{B}} de F e F^{-1} com respeito à base \mathcal{B}.
d) Seja W=\left\{x \in \mathbb{R}^{3}: x_{1}+2 x_{2}-x_{3}=0\right\}. Determinar uma base do sub-espaço F(W).
Passo 1
O enunciado dá F\colon \mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 linear com
e pede:
a) \ker F e \operatorname{Im}F, dimensões e bases;
b) provar que F é invertível;
c) achar M_F^{\mathcal B} e M_{F^{-1}}^{\mathcal B};
d) para W=\{x\in\mathbb R^3:x_1+2x_2-x_3=0\}, achar base de F(W).
Conteúdo: transformações lineares, núcleo e imagem, teorema da dimensão, matriz de transformação e subespaço imagem.
Passo 2
Vamos primeiro montar a matriz de F na base \mathcal B=\{e_1,e_2,e_3\}. As colunas são as coordenadas de F(e_i):
uma base de F(W) é, por exemplo, \{\,e_1-e_2+e_3,\;(2,2,1)\}.
Resposta
a) \ker F=\{0\}, \dim\ker F=0. \operatorname{Im}F tem dimensão 3 e base \{F(e_1),F(e_2),F(e_3)\}.
b) \ker F=\{0\} em \mathbb R^3 \implies F inversível.
c)