Exercício 2 - Considere os pontos A=(3,-12), B=(2,-9), C=(-3,1) e o vetor \vec{u}=(1,-5).
Determine a equação vetorial da reta r_{3} que passa por C e é perpendicular à reta r_{1}.

Passo 1

O enunciado dá os pontos A=(3,-12), B=(2,-9), C=(-3,1) e o vetor \vec u=(1,-5). A reta r_{1} é a que passa por A e tem direção \vec u. Queremos a reta r_{3} que passa por C e é perpendicular a r_{1}. Para isso precisamos (1) identificar o vetor diretor de r_{1} e (2) encontrar um vetor perpendicular a ele, que será o vetor diretor de r_{3}.

Passo 2

A reta r_{1} tem vetor diretor \vec u=(1,-5). Todo vetor diretor de r_{3} deve satisfazer a condição de perpendicularidade
\vec v\cdot \vec u = 0.

Passo 3

Seja \vec v=(a,b) o vetor diretor de r_{3}. A condição
(a,b)\cdot(1,-5)=a - 5b = 0
implica
a = 5b.
Para escolher um vetor não nulo, tomamos b=1, logo a=5. Assim podemos usar
\vec v = (5,1)
como vetor diretor de r_{3}.

Passo 4

A equação vetorial de uma reta que passa por C=(-3,1) e tem vetor diretor \vec v=(5,1) é
r_{3}:\;(x,y) = (-3,1) + t\,(5,1),\quad t\in\mathbb{R}.

Resposta

A equação vetorial de r_{3} é
(x,y) = (-3,1) + t\,(5,1),\quad t\in\mathbb{R}.

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