Exercício 1 - Sejam A=(1,0,4), B=(1,1,6), C=(0,1,-3) e D=(1,2,4) pontos no espaço. Considere os vetores \vec{u}=\overrightarrow{A B} e \vec{v}=\overrightarrow{A C}.
(a) Calcule \vec{u} \cdot \vec{v}.
(b) Determine \vec{u} \times \vec{v}.
(c) Calcule a área do paralelogramo determinado por \vec{u} e \vec{v}.

Passo 1

O enunciado dá os pontos \displaystyle A=(1,0,4), B=(1,1,6) e C=(0,1,-3) e define \vec{u}=\overrightarrow{AB}, \vec{v}=\overrightarrow{AC}.
Pede-se (a) o produto escalar \vec{u}\cdot\vec{v}, (b) o produto vetorial \vec{u}\times\vec{v} e (c) a área do paralelogramo gerado por \vec{u} e \vec{v}.

Passo 2

Antes de tudo, encontramos as componentes de \vec{u} e \vec{v}:
\vec{u} = B - A = (1-1,\;1-0,\;6-4) = (0,1,2),
\vec{v} = C - A = (0-1,\;1-0,\;-3-4) = (-1,1,-7).

Passo 3

O produto escalar é
\vec{u}\cdot\vec{v} = u_1v_1 + u_2v_2 + u_3v_3 = 0\cdot(-1) + 1\cdot1 + 2\cdot(-7) = 0 + 1 - 14 = -13.

Passo 4

O produto vetorial usa a fórmula
\vec{u}\times\vec{v} = \bigl(u_2v_3 - u_3v_2,\;u_3v_1 - u_1v_3,\;u_1v_2 - u_2v_1\bigr).
Substituindo \vec{u}=(0,1,2) e \vec{v}=(-1,1,-7),
\vec{u}\times\vec{v} = \bigl(1\cdot(-7)-2\cdot1,\;2\cdot(-1)-0\cdot(-7),\;0\cdot1-1\cdot(-1)\bigr) = (-9,-2,1).

Passo 5

A área do paralelogramo formado por \vec{u} e \vec{v} é o módulo de \vec{u}\times\vec{v}:
\|\vec{u}\times\vec{v}\| = \sqrt{(-9)^2 + (-2)^2 + 1^2} = \sqrt{81 + 4 + 1} = \sqrt{86}.

Resposta

(a) \vec{u}\cdot\vec{v} = -13
(b) \vec{u}\times\vec{v} = (-9,-2,1)
(c) Área = \sqrt{86}

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