Exercício 26. Suponha que
são autovalores de
tais que
também é autovalor de
. Mostre que
e
são autovetores associados a um mesmo autovalor de
.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
-
e são autovetores de (portanto e ). - A soma
também é um autovetor de .
O que se pede: mostrar quee são autovetores associados ao mesmo autovalor de (ou seja, os autovalores correspondentes a e são iguais).
Passo 2
Lembrando definições e propriedades básicas que vamos usar:
- Dizer que
é autovetor de significa que existe um escalar tal que
com
. O escalar
é o autovalor associado a
.
- A aplicação linear
satisfaz a propriedade da linearidade:
- Os autovetores são vetores não nulos por definição.
Passo 3
Denotemos os autovalores correspondentes por:
e como
também é autovetor, existe
tal que
Passo 4
Aplicando linearidade em
obtemos
Por outro lado, pela hipótese de
ser autovetor,
Igualando as duas expressões:
Rearranjando:
Passo 5
A equação
será analisada em dois casos (exaustivos) sobre a relação linear entre
e
.
Passo 6
Caso 1:
e
são linearmente independentes.
- Se dois vetores são linearmente independentes, a única combinação linear que dá o vetor nulo é a combinação trivial; portanto os coeficientes na combinação acima devem ser zero:
- Isso implica
e , logo . Conclusão neste caso: e têm o mesmo autovalor.
Passo 7
Caso 2:
e
são linearmente dependentes.
- Então existe escalar
tal que . - Usando
e , temos
Mas também
. Igualando,
Como
e
, pode-se dividir por
e obter
. Conclusão neste caso:
e
têm o mesmo autovalor.
Passo 8
Nos dois casos possíveis chegamos à mesma conclusão: os autovalores associados a
e
coincidem. Portanto
e
são autovetores associados ao mesmo autovalor de
.