Exercício 26. Suponha que u, w são autovalores de T tais que u+w também é autovalor de T. Mostre que u e w são autovetores associados a um mesmo autovalor de T.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • u e w são autovetores de T (portanto u\neq0 e w\neq0).
  • A soma u+w também é um autovetor de T.
    O que se pede: mostrar que u e w são autovetores associados ao mesmo autovalor de T (ou seja, os autovalores correspondentes a u e w são iguais).

Passo 2

Lembrando definições e propriedades básicas que vamos usar:
  • Dizer que u é autovetor de T significa que existe um escalar \lambda tal que
T(u)=\lambda u,
com u\neq0. O escalar \lambda é o autovalor associado a u.
  • A aplicação linear T satisfaz a propriedade da linearidade:
T(u+w)=T(u)+T(w).
  • Os autovetores são vetores não nulos por definição.

Passo 3

Denotemos os autovalores correspondentes por:
T(u)=\lambda u,\qquad T(w)=\mu w,
e como u+w também é autovetor, existe \nu tal que
T(u+w)=\nu(u+w).

Passo 4

Aplicando linearidade em T(u+w) obtemos
T(u+w)=T(u)+T(w)=\lambda u+\mu w.
Por outro lado, pela hipótese de u+w ser autovetor,
T(u+w)=\nu(u+w)=\nu u+\nu w.
Igualando as duas expressões:
\lambda u+\mu w=\nu u+\nu w.
Rearranjando:
(\lambda-\nu)u+(\mu-\nu)w=0.

Passo 5

A equação (\lambda-\nu)u+(\mu-\nu)w=0 será analisada em dois casos (exaustivos) sobre a relação linear entre u e w.

Passo 6

Caso 1: u e w são linearmente independentes.
  • Se dois vetores são linearmente independentes, a única combinação linear que dá o vetor nulo é a combinação trivial; portanto os coeficientes na combinação acima devem ser zero:
\lambda-\nu=0\quad\text{e}\quad\mu-\nu=0.
  • Isso implica \lambda=\nu e \mu=\nu, logo \lambda=\mu. Conclusão neste caso: u e w têm o mesmo autovalor.

Passo 7

Caso 2: u e w são linearmente dependentes.
  • Então existe escalar \alpha\neq0 tal que u=\alpha w.
  • Usando T(u)=\lambda u e T(w)=\mu w, temos
T(u)=T(\alpha w)=\alpha T(w)=\alpha\mu w.
Mas também T(u)=\lambda u=\lambda\alpha w. Igualando,
\lambda\alpha w=\alpha\mu w.
Como \alpha\neq0 e w\neq0, pode-se dividir por \alpha w e obter \lambda=\mu. Conclusão neste caso: u e w têm o mesmo autovalor.

Passo 8

Nos dois casos possíveis chegamos à mesma conclusão: os autovalores associados a u e w coincidem. Portanto u e w são autovetores associados ao mesmo autovalor de T.

Resposta

\,u e \,w são autovetores associados ao mesmo autovalor (ou seja, \lambda=\mu).

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