Exercício 26 A temperatura T de um sólido é dada por T(x, y, z)=e^{-x}+e^{-2 y}+e^{4 z}, onde x, y, z são as coordenadas em um sistema cartesiano cuja origem é o centro do sólido. Vamos determinar em que direção, a partir do ponto (1,1,1), na qual a temperatura decresce mais rapidamente ? Qual o valor de decrescimento máximo? Qual a taxa de variação de T no ponto (1,1,1) ?

Passo 1

O enunciado dá o campo de temperatura
T(x,y,z)=e^{-x}+e^{-2y}+e^{4z}
e pede (i) a direção em que T diminui mais rapidamente a partir de (1,1,1), (ii) o valor desse decrescimento máximo e (iii) a taxa de variação de T no ponto (1,1,1). Para isso usamos o gradiente, pois ele aponta na direção de maior crescimento, e o negativo do gradiente indica a direção de maior decrescimento.

Passo 2

Calculamos o gradiente de T, isto é, o vetor das derivadas parciais:
\nabla T(x,y,z) =\Bigl(\tfrac{\partial T}{\partial x},\tfrac{\partial T}{\partial y},\tfrac{\partial T}{\partial z}\Bigr) =\bigl(-e^{-x},\, -2e^{-2y},\,4e^{4z}\bigr).

Passo 3

Avaliamo-lo no ponto (1,1,1):
\nabla T(1,1,1) =\bigl(-e^{-1},\, -2e^{-2},\,4e^{4}\bigr).

Passo 4

O módulo de \nabla T(1,1,1) é
\|\nabla T(1,1,1)\| =\sqrt{\bigl(-e^{-1}\bigr)^{2}+\bigl(-2e^{-2}\bigr)^{2}+\bigl(4e^{4}\bigr)^{2}} =\sqrt{e^{-2}+4e^{-4}+16e^{8}}.

Passo 5

A direção de maior decrescimento é o vetor unitário oposto ao gradiente:
\mathbf{u} =-\frac{\nabla T(1,1,1)}{\|\nabla T(1,1,1)\|} =\frac{\bigl(e^{-1},\,2e^{-2},\,-4e^{4}\bigr)} {\sqrt{e^{-2}+4e^{-4}+16e^{8}}}.

Passo 6

O valor do decrescimento máximo é o derivada direcional nessa direção, isto é,
D_{\mathbf{u}}T(1,1,1) =\nabla T(1,1,1)\cdot\mathbf{u} =-\|\nabla T(1,1,1)\| =-\sqrt{e^{-2}+4e^{-4}+16e^{8}}.

Passo 7

A “taxa de variação de T” no ponto (1,1,1) refere-se ao próprio gradiente naquele ponto, ou seja,
\nabla T(1,1,1)=\bigl(-e^{-1},\,-2e^{-2},\,4e^{4}\bigr).

Resposta

(i) Direção de maior decrescimento:
\mathbf{u} =\frac{\bigl(e^{-1},\,2e^{-2},\,-4e^{4}\bigr)} {\sqrt{e^{-2}+4e^{-4}+16e^{8}}}.
(ii) Valor do decrescimento máximo: -\sqrt{e^{-2}+4e^{-4}+16e^{8}}.
(iii) Taxa de variação de T em (1,1,1):
\nabla T(1,1,1)=\bigl(-e^{-1},\,-2e^{-2},\,4e^{4}\bigr).

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