Exercício 26 A temperatura
de um sólido é dada por
, onde
são as coordenadas em um sistema cartesiano cuja origem é o centro do sólido. Vamos determinar em que direção, a partir do ponto
, na qual a temperatura decresce mais rapidamente ? Qual o valor de decrescimento máximo? Qual a taxa de variação de
no ponto
?
Passo 1
O enunciado dá o campo de temperatura
e pede (i) a direção em que
diminui mais rapidamente a partir de
, (ii) o valor desse decrescimento máximo e (iii) a taxa de variação de
no ponto
. Para isso usamos o gradiente, pois ele aponta na direção de maior crescimento, e o negativo do gradiente indica a direção de maior decrescimento.
Passo 2
Calculamos o gradiente de
, isto é, o vetor das derivadas parciais:
Passo 3
Avaliamo-lo no ponto
:
Passo 4
O módulo de
é
Passo 5
A direção de maior decrescimento é o vetor unitário oposto ao gradiente:
Passo 6
O valor do decrescimento máximo é o derivada direcional nessa direção, isto é,
Passo 7
A “taxa de variação de
” no ponto
refere-se ao próprio gradiente naquele ponto, ou seja,
Resposta
(i) Direção de maior decrescimento:
(ii) Valor do decrescimento máximo:
(iii) Taxa de variação de em
:
(iii) Taxa de variação de