Estude a divisão de
\begin{aligned} & 7=x^{2}+a x+b \\\ & y=2 x^{2}+2 x-6 \end{aligned}
Qual a condição para que a divisão seja exata?

Passo 1

O enunciado nos dá o divisor
f(x)=x^{2}+a x+b
e o dividendo
g(x)=2x^{2}+2x-6
e pede a condição em (a,b) para que a divisão de g(x) por f(x) seja exata, ou seja, sem resto.

Passo 2

Pelo Teorema da Divisão de Polinômios, existem polinômios Q(x) e R(x) tais que
g(x)=f(x)\,Q(x)+R(x),
com \deg R<\deg f=2. A divisão é exata se e somente se R(x)=0.

Passo 3

Como \deg g=\deg f=2, o quociente Q(x) deve ser um polinômio de grau zero, digamos Q(x)=k. Logo, a exigência R(x)=0 implica
2x^{2}+2x-6 = k\bigl(x^{2}+a x+b\bigr).

Passo 4

Comparando coeficientes de x^{2}, x e termo independente, obtemos o sistema
2 = k, \quad 2 = k\,a, \quad -6 = k\,b.
Da primeira equação vem k=2. Substituindo em 2=ka e -6=kb achamos
a=1, \quad b=-3.

Resposta

a=1 e b=-3.

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