Exercício 4.27 Abaixo seguem derivadas f^{\prime} de funções f. Identifique os intervalos nos quais f possui gráfico com concavidade para cima e concavidade para para baixo. Considere que os domínios são sempre os maiores possíveis em \mathbb{R}.
\mathrm{f}^{\prime}(\mathrm{x})=2+\mathrm{x}-\mathrm{x}^{2}

Passo 1

O enunciado nos dá a derivada
f'(x)=2 + x - x^2
definida em todo \mathbb{R}, e pede para identificar onde o gráfico de f é côncavo para cima e onde é côncavo para baixo. Para isso, precisamos usar o conceito de concavidade via segunda derivada: f é côncava para cima quando f''(x)>0 e côncava para baixo quando f''(x)<0.

Passo 2

Calculamos a segunda derivada de f derivando f'(x). Como
f'(x)=2 + x - x^2,
temos
f''(x)=\frac{d}{dx}\bigl(2 + x - x^2\bigr)=1 - 2x.

Passo 3

Agora analisamos o sinal de f''(x). Resolvendo
f''(x)>0 \quad\Longleftrightarrow\quad 1 - 2x>0 \quad\Longleftrightarrow\quad x<\tfrac12,
e
f''(x)<0 \quad\Longleftrightarrow\quad 1 - 2x<0 \quad\Longleftrightarrow\quad x>\tfrac12.

Passo 4

Portanto, como o domínio é todo \mathbb{R} e a concavidade muda onde f''(x)=0 (i.e.\ em x=\tfrac12), concluímos:

Resposta

f é côncava para cima em (-\infty,\tfrac12) e côncava para baixo em (\tfrac12,\infty).

Exercícios relacionados